解説

方針・初手

$3x+\dfrac{1}{x^3}$ は、$x>0$ のもとで正の項の和である。したがって、相加平均・相乗平均の関係を用いると最小値を直接求めやすい。

解法1

$3x$ を $x+x+x$ とみると、

$$ 3x+\frac{1}{x^3}=x+x+x+\frac{1}{x^3} $$

である。

ここで、$x>0$ より各項は正であるから、4つの正の数 $x,\ x,\ x,\ \dfrac{1}{x^3}$ に相加平均・相乗平均の関係を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{x+x+x+\dfrac{1}{x^3}}{4} \geqq \sqrt[4]{x\cdot x\cdot x\cdot \frac{1}{x^3}} &= \sqrt[4]{1} \\ 1 \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ 3x+\frac{1}{x^3}\geqq 4 $$

である。

等号成立は4つの数がすべて等しいとき、すなわち

$$ x=\frac{1}{x^3} $$

のときである。これを解くと、

$$ x^4=1 $$

であり、$x>0$ だから

$$ x=1 $$

となる。

よって、最小値は $4$ であり、そのときの $x$ の値は $1$ である。

解法2

$f(x)=3x+\dfrac{1}{x^3}$ とおく。

$x>0$ において微分すると、

$$ f'(x)=3-\frac{3}{x^4} $$

である。

$f'(x)=0$ より

$$ 3-\frac{3}{x^4}=0 $$

$$ x^4=1 $$

となる。$x>0$ なので

$$ x=1 $$

を得る。

さらに、

$$ f'(x)=3\left(1-\frac{1}{x^4}\right) $$

より、$0<x<1$ では $f'(x)<0$、$x>1$ では $f'(x)>0$ である。したがって、$x=1$ で極小となり、そこで最小値をとる。

実際、

$$ f(1)=3+\frac{1}{1^3}=4 $$

である。

よって、最小値は $4$、そのとき $x=1$ である。

解説

この問題は、$3x$ を $x+x+x$ と分けることで、相加平均・相乗平均をそのまま適用できる典型題である。積が

$$ x\cdot x\cdot x\cdot \frac{1}{x^3}=1 $$

と一定になるため、和の最小値がすぐに決まる。

微分でも解けるが、入試では解法1のほうが速く簡潔である。

答え

最小値は $4$、そのときの $x$ の値は $1$ である。