解説

方針・初手

それぞれの括弧内で $x+1$ を共通の形にまとめると、積が扱いやすくなる。 $y=x+1$ とおけば、式は $y$ と $\dfrac{1}{y}$ の式に整理でき、最後は相加平均・相乗平均の関係で最小値を求められる。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=\left(2x+\frac{27}{x+1}+2\right)\left(x+\frac{6}{x+1}+1\right) $$

である。

ここで $y=x+1$ とおくと、$x>0$ より

$$ y=x+1>1 $$

である。また

$$ 2x+2=2(x+1)=2y $$

であり、

$$ x+1=y $$

であるから、

$$ f(x)=\left(2y+\frac{27}{y}\right)\left(y+\frac{6}{y}\right) $$

となる。

これを展開すると、

$$ \begin{aligned} f(x) &=\left(2y+\frac{27}{y}\right)\left(y+\frac{6}{y}\right) \\ &=2y^2+12+27+\frac{162}{y^2} \\ &=2y^2+\frac{162}{y^2}+39 \end{aligned} $$

となる。

したがって、最小にすべき部分は

$$ 2y^2+\frac{162}{y^2} $$

である。

ここで相加平均・相乗平均より

$$ \begin{aligned} 2y^2+\frac{162}{y^2} &\geqq 2\sqrt{2y^2\cdot \frac{162}{y^2}} &= 2\sqrt{324}\\ &=36 \end{aligned} $$

である。

等号成立条件は

$$ 2y^2=\frac{162}{y^2} $$

すなわち

$$ 2y^4=162 $$

より

$$ y^4=81,\quad y^2=9 $$

である。$y>0$ だから

$$ y=3 $$

となる。

よって

$$ f(x)\geqq 36+39=75 $$

であり、最小値は

$$ \alpha=75 $$

である。

また、最小値を与えるとき $y=3$ なので

$$ x=y-1=2 $$

したがって

$$ \beta=2 $$

である。

以上より

$$ \alpha+\beta=75+2=77 $$

解説

この問題の要点は、各因子をそのまま展開するのではなく、$x+1$ を新しい文字で置いて対称的な形に直すことである。

実際、

$$ 2x+\frac{27}{x+1}+2=2(x+1)+\frac{27}{x+1}, \qquad x+\frac{6}{x+1}+1=(x+1)+\frac{6}{x+1} $$

と見抜ければ、積が $y^2$ と $\dfrac{1}{y^2}$ の形に整理され、相加平均・相乗平均で一気に最小値まで到達できる。 最小値だけでなく、そのときの $x$ も等号成立条件から確実に求めることが重要である。

答え

$$ \alpha=75,\qquad \beta=2,\qquad \alpha+\beta=77 $$