解説

方針・初手

分子を分母で割って式を整理し、$x$ そのものではなく $x^2-x+3$ を1つの文字とみなして扱う。

この形に直せば、最後は相加平均・相乗平均の関係で最小値を一気に求められる。

解法1

まず、分子を $x^2-x+3$ で割ると

$$ x^4-2x^3-x^2+2x+34=(x^2-x+3)(x^2-x-5)+49 $$

であるから、

$$ f(x)=x^2-x-5+\frac{49}{x^2-x+3} $$

となる。

ここで

$$ t=x^2-x+3 $$

とおくと、

$$ f(x)=t-8+\frac{49}{t} $$

と表せる。

次に、$x\geqq 0$ のときの $t$ の範囲を調べる。

$$ t=x^2-x+3=\left(x-\frac12\right)^2+\frac{11}{4} $$

より、

$$ t\geqq \frac{11}{4}>0 $$

である。

したがって、$t>0$ に対して相加平均・相乗平均の関係を用いると

$$ t+\frac{49}{t}\geqq 2\sqrt{t\cdot \frac{49}{t}}=14 $$

となる。よって

$$ f(x)=\left(t+\frac{49}{t}\right)-8\geqq 14-8=6 $$

である。

等号成立は

$$ t=\frac{49}{t} $$

すなわち

$$ t=7 $$

のときである。

これは

$$ x^2-x+3=7 $$

すなわち

$$ x^2-x-4=0 $$

を満たすときであり、

$$ x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2} $$

を得る。このうち $x\geqq 0$ を満たすのは

$$ x=\frac{1+\sqrt{17}}{2} $$

である。

したがって、このとき最小値 $6$ をとる。

解説

この問題の要点は、4次式をそのまま扱わず、まず分母で割って

$$ f(x)=x^2-x-5+\frac{49}{x^2-x+3} $$

という形に直すことである。

さらに $x^2-x+3$ を $t$ とおくと、

$$ f(x)=t-8+\frac{49}{t} $$

となり、これは典型的な

$$ t+\frac{a}{t} $$

の最小値問題になる。ここまで整理できれば、相加平均・相乗平均の関係で即座に処理できる。

答え

最小値は

$$ 6 $$

であり、そのとき

$$ x=\frac{1+\sqrt{17}}{2} $$

である。