解説

方針・初手

与えられた条件

$$ x^2+y^2-4y+2=0 $$

は

$$ x^2+(y-2)^2=2 $$

と変形できる。したがって $(x,y)$ は中心 $(0,2)$、半径 $\sqrt{2}$ の円周上にあり、特に

$$ y\in[2-\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}] $$

であるから $y>0$ である。よって $k=\dfrac{x}{y}$ は常に定義される。

以後、$x=ky$ を条件式に代入して $k$ の範囲を調べ、さらに $z$ を $k$ の式に直して最小値を求める。

解法1

**(1)**

$k$ のとりうる値の範囲を求める。

$x=ky$ を

$$ x^2+y^2-4y+2=0 $$

に代入すると

$$ (k^2+1)y^2-4y+2=0 $$

を得る。

これが $y$ について実数解をもつための必要十分条件は、判別式が $0$ 以上であることである。したがって

$$ (-4)^2-4(k^2+1)\cdot 2\geqq 0 $$

$$ 16-8(k^2+1)\geqq 0 $$

$$ 8(1-k^2)\geqq 0 $$

$$ k^2\leqq 1 $$

よって

$$ -1\leqq k\leqq 1 $$

である。

**(2)**

$z$ を $k$ の式で表す。

$k=\dfrac{x}{y}$ より $x=ky$ だから、

$$ z=\frac{x^2+4xy+9y^2}{xy+2y^2} =\frac{k^2y^2+4ky^2+9y^2}{ky^2+2y^2} =\frac{k^2+4k+9}{k+2} $$

したがって

$$ z=\frac{k^2+4k+9}{k+2} $$

である。

さらに分子を整理すると

$$ k^2+4k+9=(k+2)^2+5 $$

なので

$$ z=k+2+\frac{5}{k+2} $$

とも書ける。

**(3)**

$z$ の最小値とそのときの $k$ の値を求める。

（1） より $-1\leqq k\leqq 1$ だから、

$$ 1\leqq k+2\leqq 3 $$

ここで

$$ t=k+2 $$

とおくと $1\leqq t\leqq 3$ であり、

$$ z=t+\frac{5}{t} $$

となる。

相加平均・相乗平均の関係より

$$ t+\frac{5}{t}\geqq 2\sqrt{5} $$

等号成立は

$$ t=\frac{5}{t} $$

すなわち

$$ t^2=5,\quad t=\sqrt{5} $$

のときである。$\sqrt{5}\in[1,3]$ なのでこれは実際にとりうる。

よって

$$ z_{\min}=2\sqrt{5} $$

そのとき

$$ k+2=\sqrt{5} $$

より

$$ k=\sqrt{5}-2 $$

である。

**(4)**

$z$ の最小値を与える $x$ の値を $\alpha,\beta$ とするとき、$\alpha+\beta$ を求める。

最小値を与えるとき

$$ k=\sqrt{5}-2 $$

であり、$x=ky$ だから

$$ (k^2+1)y^2-4y+2=0 $$

を満たす。

この $2$ つの解を $y_1,y_2$ とすると、対応する $x$ の値は

$$ \alpha=ky_1,\quad \beta=ky_2 $$

である。したがって

$$ \alpha+\beta=k(y_1+y_2) $$

一方、二次方程式の解と係数の関係より

$$ y_1+y_2=\frac{4}{k^2+1} $$

なので

$$ \alpha+\beta=\frac{4k}{k^2+1} $$

ここで $k=\sqrt{5}-2$ を代入する。

まず

$$ k^2+1=(\sqrt{5}-2)^2+1=10-4\sqrt{5} $$

であるから

$$ \alpha+\beta=\frac{4(\sqrt{5}-2)}{10-4\sqrt{5}} $$

分母を整理すると

$$ 10-4\sqrt{5}=2(5-2\sqrt{5})=2\sqrt{5}(\sqrt{5}-2) $$

だから

$$ \alpha+\beta =\frac{4(\sqrt{5}-2)}{2\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)} =\frac{2}{\sqrt{5}} =\frac{2\sqrt{5}}{5} $$

解説

この問題の要点は、円

$$ x^2+(y-2)^2=2 $$

上の点を、原点を通る直線 $x=ky$ で切る見方である。すると $k$ の範囲は、二次方程式が実数解をもつ条件、すなわち判別式で一気に処理できる。

また $z$ は $x=ky$ を代入すると $k$ だけの式になり、

$$ z=k+2+\frac{5}{k+2} $$

と変形できる。ここまでくれば、相加平均・相乗平均または微分で最小値を求める典型問題になる。

答え

**(1)**

$$ -1\leqq k\leqq 1 $$

**(2)**

$$ z=\frac{k^2+4k+9}{k+2} $$

**(3)**

$$ z_{\min}=2\sqrt{5} $$

そのとき

$$ k=\sqrt{5}-2 $$

**(4)**

$$ \alpha+\beta=\frac{2\sqrt{5}}{5} $$