解説

方針・初手

二項定理で一般項を出し、$x$ の指数が $0$ になる項を探せばよい。 定数項は、展開後の各項に含まれる $x$ の指数が $0$ である項である。

解法1

$$ \left(x^2-\frac{1}{2x^3}\right)^5 $$

の展開における一般項を、$r+1$ 項目として書くと

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{r}(x^2)^{5-r}\left(-\frac{1}{2x^3}\right)^r \qquad (r=0,1,2,3,4,5) $$

である。

これを整理すると

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{r}(-1)^r\frac{1}{2^r}x^{2(5-r)-3r} = {}_{5}\mathrm{C}_{r}(-1)^r\frac{1}{2^r}x^{10-5r} $$

となる。

定数項となるためには、$x$ の指数が $0$ になればよいから

$$ 10-5r=0 $$

より

$$ r=2 $$

である。

したがって定数項は、$r=2$ のときの項であり

$$ \begin{aligned} {}_{5}\mathrm{C}_{2}(x^2)^3\left(-\frac{1}{2x^3}\right)^2 &= {}_{5}\mathrm{C}_{2}\cdot \frac{1}{4}\\ &= 10\cdot \frac{1}{4}\\ &= \frac{5}{2} \end{aligned} $$

となる。

解説

定数項を求める問題では、展開を全部書き下す必要はない。 二項定理で一般項を作り、文字の指数だけを見て条件を立てるのが基本である。

この問題では $x^2$ と $x^{-3}$ を掛け合わせるので、一般項の $x$ の指数は $10-5r$ となる。これを $0$ にすれば定数項が一意に決まる。

答え

定数項は

$$ \frac{5}{2} $$

である。