解説

方針・初手

和の形が

$$ \sum {}_{60}\mathrm{C}_{k}{}_{40}\mathrm{C}_{50-k} $$

となっているので、二項係数の畳み込みを利用するのが自然である。

これはヴァンデルモンドの恒等式

$$ \sum_{k}{}_{m}\mathrm{C}_{k}{}_{n}\mathrm{C}_{r-k}={}_{m+n}\mathrm{C}_{r} $$

にそのまま当てはまる。

解法1

与えられた和を

$$ S=\sum_{k=10}^{50}{}_{60}\mathrm{C}_{k}{}_{40}\mathrm{C}_{50-k} $$

とおく。

ここで、${}_{40}\mathrm{C}_{50-k}$ が意味をもつためには

$$ 0\leqq 50-k\leqq 40 $$

でなければならない。これを $k$ について書き直すと

$$ 10\leqq k\leqq 50 $$

となる。

したがって、この和は実質的に

$$ S=\sum_{k}{}_{60}\mathrm{C}_{k}{}_{40}\mathrm{C}_{50-k} $$

とみなしてよい。

そこで、ヴァンデルモンドの恒等式を用いると

$$ S={}_{60+40}\mathrm{C}_{50}={}_{100}\mathrm{C}_{50} $$

となる。

解法2

組合せとして解釈する。

60人の集団Aと40人の集団B、合計100人の中から50人を選ぶ方法の総数を考える。

一方で、Aから $k$ 人、Bから $50-k$ 人選ぶとすると、その選び方は

$$ {}_{60}\mathrm{C}_{k}{}_{40}\mathrm{C}_{50-k} $$

通りである。

ただし、Bから $50-k$ 人選べるためには $0\leqq 50-k\leqq 40$、すなわち $10\leqq k\leqq 50$ でなければならない。

よって、$k=10,11,\dots,50$ について足し合わせた

$$ \sum_{k=10}^{50}{}_{60}\mathrm{C}_{k}{}_{40}\mathrm{C}_{50-k} $$

は、100人から50人を選ぶ方法の総数そのものである。

したがって

$$ \sum_{k=10}^{50}{}_{60}\mathrm{C}_{k}{}_{40}\mathrm{C}_{50-k}={}_{100}\mathrm{C}_{50} $$

である。

解説

この問題の本質は、二項係数の積の和を「全体から選ぶ組合せ」にまとめることである。

下限が $k=10$ になっているのは、${}_{40}\mathrm{C}_{50-k}$ が 0 でない範囲をちょうど表している。したがって、形を見た時点でヴァンデルモンドの恒等式を使うか、あるいは「2つの集団から合計50人選ぶ」と解釈すればよい。

答え

$$ \sum_{k=10}^{50}{}_{60}\mathrm{C}_{k}{}_{40}\mathrm{C}_{50-k}={}_{100}\mathrm{C}_{50} $$