基礎問題集
数学2 式と証明「二項定理」の問題4 解説
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解説
方針・初手
与えられた和は
$$ \sum_{k=0}^{n}\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{k}}{k+1} $$
と書ける。
ここで、二項定理
$$ (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^k $$
の両辺を $x$ について $0$ から $1$ まで積分すると、左辺からは初等的な式が得られ、右辺からはちょうど求める和が現れる。
解法1
二項定理より
$$ (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^k $$
である。
両辺を $x=0$ から $x=1$ まで積分すると、
$$ \int_0^1 (1+x)^n,dx = \int_0^1 \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^k,dx $$
となる。
右辺は項別に積分できるから、
$$ \begin{aligned} \int_0^1 \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^k,dx &= \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\int_0^1 x^k\,dx\\ &= \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\cdot \frac{1}{k+1} \end{aligned} $$
である。したがって、求める和 $S$ は
$$ S=\int_0^1 (1+x)^n,dx $$
に等しい。
あとは左辺を直接計算すればよい。
$$ \begin{aligned} \int_0^1 (1+x)^n,dx &= \left[\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}\right]_0^1\\ &= \frac{2^{n+1}-1}{n+1} \end{aligned} $$
よって、
$$ \sum_{k=0}^{n}\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{k}}{k+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1} $$
となる。
解説
$\frac{1}{k+1}$ という形が見えたら、
$$ \int_0^1 x^k,dx=\frac{1}{k+1} $$
を利用するのが典型である。
この問題では、二項定理で現れる $x^k$ と組み合わせることで、和を積分に読み替えるのが核心である。直接和を処理しようとすると見通しが悪いが、積分に直すと一気に簡単になる。
答え
$$ \frac{2^{n+1}-1}{n+1} $$