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数学2 式と証明「二項定理」の問題5 解説
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解説
方針・初手
二項定理で一般項を立て、各項の $x$ の指数がいくつになるかを調べる。
この問題では、展開後の各項は $x^{6-2k}$ の形になるので、$x^2$ の項と定数項は指数条件から決まる。
解法1
二項定理より、
$$ \left(2x-\frac{1}{2x}\right)^6 =\sum_{k=0}^{6} {}_{6}\mathrm{C}_{k}(2x)^{6-k}\left(-\frac{1}{2x}\right)^k $$
である。
ここで一般項は
$$ {}_{6}\mathrm{C}_{k}(2x)^{6-k}\left(-\frac{1}{2x}\right)^k ={}_{6}\mathrm{C}_{k}(-1)^k 2^{6-k}\cdot \frac{1}{2^k} x^{6-k-k} $$
より、
$$ {}_{6}\mathrm{C}_{k}(-1)^k 2^{6-2k} x^{6-2k} $$
となる。
したがって、各項の $x$ の指数は $6-2k$ である。
$x^2$ の係数
$x^2$ の項が現れるのは
$$ 6-2k=2 $$
のときであるから、
$$ k=2 $$
である。
このときの係数は
$$ {}_{6}\mathrm{C}_{2}(-1)^2 2^{6-4} =15\cdot 4 =60 $$
である。
定数項
定数項が現れるのは
$$ 6-2k=0 $$
のときであるから、
$$ k=3 $$
である。
このときの係数は
$$ {}_{6}\mathrm{C}_{3}(-1)^3 2^{6-6} =20\cdot (-1)\cdot 1 =-20 $$
となる。
解説
この種の問題では、展開を全部書き下す必要はない。二項定理で一般項を作り、$x$ の指数だけを見て必要な項を特定するのが最も効率的である。
特に
$$ (2x)^{6-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k $$
から、指数が $6-2k$ になることを素早くつかめるかがポイントである。
答え
$x^2$ の係数は $60$、定数項は $-20$ である。