解説

方針・初手

いずれも二項定理

$$ (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^k $$

を用いるのが基本である。

（1） は $x=1$ を代入すればよい。

（2） は上式を微分してから $x=1$ を代入する。

（3） は $(1+1)^{2n+1}$ で二項係数の総和を出し，さらに ${}_{2n+1}\mathrm{C}_{k}={}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1-k}$ の対称性を使って前半と後半が等しいことを示す。

解法1

**(1)**

二項定理より，

$$ (1+x)^n={}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}x+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n}x^n $$

である。

ここで $x=1$ を代入すると，

$$ (1+1)^n={}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n} $$

となるから，

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n}=2^n $$

である。

**(2)**

まず

$$ (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^k $$

を微分すると，

$$ n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^{k-1} $$

を得る。

ここで $x=1$ を代入すると，

$$ n(1+1)^{n-1} =\sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k} $$

となるので，

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{1}+2{}_{n}\mathrm{C}_{2}+\cdots+n{}_{n}\mathrm{C}_{n} = n2^{n-1} $$

である。

**(3)**

二項定理より，

$$ (1+1)^{2n+1} ={}_{2n+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1} =2^{2n+1} $$

である。

一方，二項係数の対称性より，

$$ {}_{2n+1}\mathrm{C}_{k}={}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1-k} $$

が成り立つ。

したがって和

$$ {}_{2n+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1} $$

は，

$$ \left({}_{2n+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n}\right) + \left({}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+1}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1}\right) $$

と分けられ，後半の和は前半の和に等しい。

なぜなら，

$$ {}_{2n+1}\mathrm{C}_{0}={}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1},\quad {}_{2n+1}\mathrm{C}_{1}={}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n},\quad \ldots,\quad {}_{2n+1}\mathrm{C}_{n}={}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+1} $$

だからである。

よって前半の和を $S$ とおくと，

$$ 2S=2^{2n+1} $$

となるので，

$$ S=2^{2n} $$

すなわち，

$$ {}_{2n+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n}=2^{2n} $$

である。

解法2

（2） は恒等式

$$ k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} $$

を用いても示せる。

実際，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k} &= \sum_{k=1}^{n}n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\\ &= n\sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \end{aligned} $$

ここで $j=k-1$ とおけば，

$$ n\sum_{j=0}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm{C}_{j} $$

となる。

さらに （1） を $n-1$ に対して用いれば，

$$ \sum_{j=0}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm{C}_{j}=2^{n-1} $$

であるから，

$$ \sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n2^{n-1} $$

を得る。

解説

この問題の中心は二項定理である。

（1） は最も基本で，$x=1$ の代入で直ちに和が出る。

（2） は「係数に $1,2,\dots,n$ が付いている」ときに微分を考えるのが典型である。微分すると $k$ が前に出るため，ちょうど求める形になる。

（3） は係数の対称性を使う問題である。指数が $2n+1$ と奇数なので，中央に単独の項が現れず，全体の和がちょうど等しい 2 つの部分に分かれる。ここが偶数乗の場合との違いである。

答え

**(1)**

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n}=2^n $$

**(2)**

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{1}+2{}_{n}\mathrm{C}_{2}+\cdots+n{}_{n}\mathrm{C}_{n}=2^{n-1}n $$

**(3)**

$$ {}_{2n+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n}=2^{2n} $$