基礎問題集
数学2 式と証明「二項定理」の問題7 解説
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解説
方針・初手
$(1+x)^n$ を
$$ (1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n $$
とおく。
求めたいのは、奇数次の項の係数の和
$$ a_1+a_3+a_5+\cdots $$
である。
この種の問題では、$x=1$ と $x=-1$ を代入すると、係数の総和と、偶数次・奇数次の差が同時に取り出せる。
解法1
$(1+x)^n$ を
$$ (1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n $$
とおく。
偶数次の項の係数の和を $E$、奇数次の項の係数の和を $O$ とすると、
$$ E=a_0+a_2+a_4+\cdots,\qquad O=a_1+a_3+a_5+\cdots $$
である。
まず $x=1$ を代入すると、
$$ (1+1)^n=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n $$
より、
$$ E+O=2^n $$
を得る。
次に $x=-1$ を代入すると、
$$ (1-1)^n=a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots+(-1)^na_n $$
となるから、
$$ E-O=0 $$
である。ここで $n$ は正の整数なので、左辺は $0^n=0$ である。
したがって、
$$ \begin{aligned} E+O&=2^n,\\ E-O&=0 \end{aligned} $$
を連立して、
$$ 2O=2^n $$
すなわち、
$$ O=2^{n-1} $$
となる。
よって、奇数次の項の係数の和は $2^{n-1}$ である。
解説
係数の和は $x=1$ を代入すると得られ、偶数次と奇数次を符号つきで分けた和は $x=-1$ を代入すると得られる。したがって、この2つを組み合わせれば、偶数次の係数の和と奇数次の係数の和をそれぞれ求められる。
二項定理そのものを細かく書き下すよりも、式全体を多項式とみて代入するのが最も自然で速い解法である。
答え
奇数次の項の係数の和は
$$ 2^{n-1} $$
である。