基礎問題集
数学2 式と証明「二項定理」の問題8 解説
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解説
方針・初手
$(x+5)^{80}$ の $x^k$ の係数を $a_k$ とおくと、
$$ a_k={}_{80}\mathrm{C}_{k}5^{80-k} $$
である。したがって、隣り合う係数の比 $a_{k+1}/a_k$ を調べれば、どこまで増加し、どこから減少するかが分かる。
解法1
$(x+5)^{80}$ を二項定理で展開すると、
$$ (x+5)^{80}=\sum_{k=0}^{80}{}_{80}\mathrm{C}_{k}x^k5^{80-k} $$
となる。
よって、$x^k$ の係数を
$$ a_k={}_{80}\mathrm{C}_{k}5^{80-k} $$
とおく。
ここで、隣り合う係数の比を求めると、
$$ \begin{aligned} \frac{a_{k+1}}{a_k} &= \frac{{}_{80}\mathrm{C}_{k+1}5^{79-k}}{{}_{80}\mathrm{C}_{k}5^{80-k}}\\ &= \frac{80-k}{5(k+1)} \end{aligned} $$
である。
したがって、
$$ \frac{a_{k+1}}{a_k}>1 $$
となる条件は
$$ \frac{80-k}{5(k+1)}>1 $$
すなわち
$$ 80-k>5k+5 $$
より
$$ 75>6k $$
である。よって
$$ k<12.5 $$
のとき $a_{k+1}>a_k$、すなわち係数は増加する。
また、
$$ \frac{a_{k+1}}{a_k}<1 $$
となるのは $k>12.5$ のときであるから、その後は減少する。
したがって、係数は $k=13$ のとき最大である。
解説
この種の問題では、各項の係数を直接比較するよりも、隣り合う項の比を調べるのが典型である。比が $1$ より大きい間は増加し、$1$ を下回ったところから減少するので、最大となる次数を正確に決められる。
答え
$x^{13}$ の係数が最大である。