解説

方針・初手

$(x+3)^n$ の係数は二項定理で直接求まる。 まず一般項から $x^r$ の係数 $a_r$ を求め、次に隣り合う係数の比 $\dfrac{a_r}{a_{r+1}}$ を計算する。

(3) では、この比の大小によって数列 $a_0,a_1,\dots,a_{99}$ の増減を調べれば、最大となる $r$ を判定できる。

解法1

二項定理より、

$$ (x+3)^n=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^k3^{n-k} $$

である。

したがって、$x^r$ の係数 $a_r$ は

$$ a_r={}_{n}\mathrm{C}_{r}3^{n-r} $$

となる。 これで （1） は求まった。

次に、$0\leqq r\leqq n-1$ として、

$$ a_{r+1}={}_{n}\mathrm{C}_{r+1}3^{n-r-1} $$

であるから、

$$\frac{a_r}{a_{r+1}} =\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{r}3^{n-r}}{{}_{n}\mathrm{C}_{r+1}3^{n-r-1}} =3\cdot\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{r}}{{}_{n}\mathrm{C}_{r+1}}$$

となる。ここで、

$$\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{r}}{{}_{n}\mathrm{C}_{r+1}} =\frac{\frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}} =\frac{r+1}{n-r}$$

より、

$$ \frac{a_r}{a_{r+1}}=\frac{3(r+1)}{n-r} $$

である。 これで （2） も求まった。

最後に （3） を考える。$n=99$ のとき、

$$ \frac{a_r}{a_{r+1}}=\frac{3(r+1)}{99-r} $$

である。

$a_r<a_{r+1}$ となるのは

$$ \frac{a_r}{a_{r+1}}<1 $$

すなわち

$$ \frac{3(r+1)}{99-r}<1 $$

のときである。これを解くと、

$$ 3r+3<99-r $$

$$ 4r<96 $$

$$ r<24 $$

となる。

また、

$$ \frac{a_r}{a_{r+1}}=1 $$

となるのは

$$ 3(r+1)=99-r $$

より

$$ 4r=96 $$

$$ r=24 $$

のときである。

したがって、

• $r<24$ のとき $a_r<a_{r+1}$ であり、数列は増加する。
• $r=24$ のとき $a_{24}=a_{25}$ である。
• $r>24$ のとき $a_r>a_{r+1}$ であり、数列は減少する。

よって、$a_r$ が最大となるのは

$$ r=24,\ 25 $$

である。

解説

この問題の要点は、係数を直接比較するのではなく、隣り合う項の比 $\dfrac{a_r}{a_{r+1}}$ を見ることで増減を判定することである。

二項係数が含まれる数列の最大項を調べる問題では、この方法が典型的であり、計算も整理しやすい。特に今回は $a_{24}=a_{25}$ となるため、最大となる $r$ が 2 個ある点に注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ a_r={}_{n}\mathrm{C}_{r}3^{n-r} $$

**(2)**

$$ \frac{a_r}{a_{r+1}}=\frac{3(r+1)}{n-r} $$

**(3)**

$$ r=24,\ 25 $$