解説

方針・初手

$x^4$ の係数だけを求めればよいので、2つの式をすべて展開する必要はない。

まず $\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^4$ のうち、どの項が出るかを確認し、その各項に対して $(1+ax)^5$ のどの項を掛ければ $x^4$ になるかを調べる。

解法1

二項定理より、

$$ (1+ax)^5=1+5ax+10a^2x^2+10a^3x^3+5a^4x^4+a^5x^5 $$

また、

$$ \left(x-\frac{2}{x}\right)^4 = x^4-8x^2+24-32x^{-2}+16x^{-4} $$

である。

ここで、積 $(1+ax)^5\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^4$ において $x^4$ をつくる項だけを拾う。

**(i)**

$\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^4$ の $x^4$ の項 $x^4$ と、$(1+ax)^5$ の定数項 $1$ を掛けると、

$$ 1 $$

を得る。

**(ii)**

$\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^4$ の $x^2$ の項 $-8x^2$ と、$(1+ax)^5$ の $x^2$ の項 $10a^2x^2$ を掛けると、

$$ -8 \cdot 10a^2 = -80a^2 $$

を得る。

**(iii)**

$\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^4$ の定数項 $24$ と、$(1+ax)^5$ の $x^4$ の項 $5a^4x^4$ を掛けると、

$$ 24 \cdot 5a^4 = 120a^4 $$

を得る。

したがって、$x^4$ の係数は

$$ 120a^4-80a^2+1 $$

である。

これが $41$ になるので、

$$ 120a^4-80a^2+1=41 $$

すなわち

$$ 120a^4-80a^2-40=0 $$

両辺を $40$ で割ると、

$$ 3a^4-2a^2-1=0 $$

ここで $t=a^2$ とおくと、

$$ 3t^2-2t-1=0 $$

となる。因数分解して、

$$ (3t+1)(t-1)=0 $$

よって、

$$ t=1,\ -\frac13 $$

ただし $t=a^2 \geqq 0$ であるから、

$$ a^2=1 $$

したがって、

$$ a=\pm 1 $$

解説

この問題では、全展開して整理するのではなく、必要な次数である $x^4$ をつくる組合せだけを見るのが基本である。

特に $\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^4$ は負の次数の項も含むので、どの項とどの項を掛ければ $x^4$ になるかを丁寧に確認することが重要である。

答え

$$ a=\pm 1 $$