解説

方針・初手

$(2)$ と $(3)$ は、$21=20+1,\ 19=20-1$ と見て二項定理を用いるのが自然である。 $400=20^2$ なので、展開したとき $20^2$ 以上を含む項はすべて $400$ の倍数になる。したがって、定数項と $20$ を1個だけ含む項まで見ればよい。

解法1

（1） 二項定理より、

$$ (1+a)^n=\sum_{k=0}^n {}_{n}\mathrm{C}_{k}a^k $$

である。したがって、

$$ (1+a)^n =1+na+\frac{n(n-1)}{2}a^2+\cdots+a^n $$

となる。

**(2)**

$$ 21^{10}=(20+1)^{10} $$

を二項定理で展開すると、

$$ (20+1)^{10} =1+{}_{10}\mathrm{C}_{1}20+{}_{10}\mathrm{C}_{2}20^2+\cdots+20^{10} $$

である。

ここで、$20^2=400$ であるから、$20^2$ 以上を含む項はすべて $400$ の倍数である。よって、

$$ 21^{10}\equiv 1+{}_{10}\mathrm{C}_{1}20 \pmod{400} $$

すなわち、

$$ 21^{10}\equiv 1+10\cdot 20=201 \pmod{400} $$

となる。したがって、余りは $201$ である。

**(3)** $19=20-1,\ 21=20+1$ であるから、

$$ 19^n+21^n=(20-1)^n+(20+1)^n $$

と書ける。これを二項定理で考える。

$20^2$ 以上を含む項はすべて $400$ の倍数であるから、$400$ での余りを考えるには定数項と1次の項だけを見ればよい。よって、

$$ (20-1)^n \equiv (-1)^n+n20(-1)^{n-1}\pmod{400} $$

$$ (20+1)^n \equiv 1+n20 \pmod{400} $$

である。したがって、

$$ 19^n+21^n \equiv \bigl((-1)^n+1\bigr)+20n\bigl((-1)^{n-1}+1\bigr) \pmod{400} $$

となる。ここで、$n$ の偶奇で場合分けする。

**(i)**

$n$ が偶数のとき

$$ (-1)^n+1=2,\qquad (-1)^{n-1}+1=0 $$

であるから、

$$ 19^n+21^n\equiv 2 \pmod{400} $$

となる。したがって $400$ では割り切れない。

**(ii)**

$n$ が奇数のとき

$$ (-1)^n+1=0,\qquad (-1)^{n-1}+1=2 $$

であるから、

$$ 19^n+21^n\equiv 40n \pmod{400} $$

となる。これが $0 \pmod{400}$ になるには、

$$ 40n\equiv 0 \pmod{400} $$

すなわち $n$ が $10$ の倍数でなければならない。しかし $10$ の倍数は偶数であり、奇数ではありえない。

よって、奇数の場合も $400$ で割り切れることはない。

以上より、$19^n+21^n$ が $400$ で割り切れるような正の整数 $n$ は存在しない。

解説

この問題の要点は、$400=20^2$ であることに注目し、$20\pm1$ の形にして二項定理を使うことである。 すると、$20^2$ 以上を含む項はすべて消えるので、計算が大幅に簡単になる。

特に $(3)$ では、偶数乗と奇数乗で定数項と1次の項の残り方が変わるため、偶奇で場合分けするのが本質である。 偶数なら常に $2$、奇数なら常に $40n$ に合同となるので、どちらの場合も $0 \pmod{400}$ にはならない。

答え

**(1)**

$$ (1+a)^n=\sum_{k=0}^n {}_{n}\mathrm{C}_{k}a^k =1+na+\frac{n(n-1)}{2}a^2+\cdots+a^n $$

**(2)**

余りは

$$ 201 $$

である。

**(3)**

そのような正の整数 $n$ は存在しない。