解説

方針・初手

二項定理で一般項を出せば、$x^{12}$ の係数は指数条件から一意に決まる。

また、最小値は

$$ \frac{x^2}{2}+\frac{1}{x^2} $$

の最小値を求めればよい。ここでは $t=x^2,(>0)$ とおいて整理する。

解法1

$f(x)$ を二項定理で展開すると、一般項は

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{x^2}{2}\right)^{10-k}\left(\frac{1}{x^2}\right)^k $$

である。

これを整理すると

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{k}\frac{1}{2^{10-k}}x^{2(10-k)-2k} = {}_{10}\mathrm{C}_{k}\frac{1}{2^{10-k}}x^{20-4k} $$

となる。

したがって、$x^{12}$ の項が現れるのは

$$ 20-4k=12 $$

を満たすときであり、

$$ k=2 $$

である。

よって、その係数は

$$ \begin{aligned} {}_{10}\mathrm{C}_{2}\frac{1}{2^8} &=45\cdot \frac{1}{256}\\ &=\frac{45}{256} \end{aligned} $$

である。

次に、$f(x)$ の最小値を求める。

$x\neq 0$ であるから、$t=x^2,(>0)$ とおくと

$$ f(x)=\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{t}\right)^{10} $$

となる。

ここで相加相乗平均より、

$$ \frac{t}{2}+\frac{1}{t} \geqq 2\sqrt{\frac{t}{2}\cdot \frac{1}{t}} =

2\sqrt{\frac{1}{2}}

=\sqrt{2} $$

である。

等号成立条件は

$$ \frac{t}{2}=\frac{1}{t} $$

すなわち

$$ t^2=2 $$

であり、$t>0$ より

$$ t=\sqrt{2} $$

のときである。したがって

$$ f(x)\geqq (\sqrt{2})^{10}=2^5=32 $$

となるので、最小値は $32$ である。

解説

係数問題では、まず一般項の $x$ の指数を明確に書き、その指数が目的の次数と一致する条件を解くのが基本である。

最小値については、いきなり $f(x)$ 全体を扱うのではなく、中の

$$ \frac{x^2}{2}+\frac{1}{x^2} $$

に注目するのが自然である。$x^2$ を新しい文字 $t$ とおくと、相加相乗平均をそのまま使える形になる。

答え

係数は

$$ \frac{45}{256} $$

であり、最小値は

$$ 32 $$

である。したがって、

$$ \boxed{\text{ウ}=\frac{45}{256}},\qquad \boxed{\text{エ}=32} $$

である。