基礎問題集
数学2 式と証明「二項定理」の問題14 解説
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解説
方針・初手
二項係数に $k$ や $k(k-1)$ が付いているので、まず
$$ k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} $$
を示す。さらに
$$ k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k}=n(n-1){}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2} $$
に直せば、あとは
$$ \sum_{r=0}^{m}{}_{m}\mathrm{C}_{r}=2^m $$
を使って求められる。
解法1
**(1)**
二項係数の定義より、
$$ {}_{n}\mathrm{C}_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} $$
である。したがって、
$$ \begin{aligned} k{}_{n}\mathrm{C}_{k} &=k\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}\\ &=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \end{aligned} $$
である。一方、
$$ \begin{aligned} n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} &=n\cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\ &=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \end{aligned} $$
であるから、
$$ k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \qquad (k=1,2,\dots,n) $$
が成り立つ。
**(2)**
（1） より、
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k} &=\sum_{k=1}^{n}n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\\ &=n\sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \end{aligned} $$
である。ここで $j=k-1$ とおくと、
$$ \sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} =\sum_{j=0}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm{C}_{j} =2^{n-1} $$
だから、
$$ \sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n2^{n-1} $$
である。
**(3)**
$k\geqq 2$ のとき、
$$ \begin{aligned} k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k} &=(k-1)\left(k{}_{n}\mathrm{C}_{k}\right)\\ &=(k-1)n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\\ &=n(n-1){}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2} \end{aligned} $$
である。よって、
$$ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{n}k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k} &=n(n-1)\sum_{k=2}^{n}{}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2}\\ &=n(n-1)\sum_{j=0}^{n-2}{}_{n-2}\mathrm{C}_{j}\\ &=n(n-1)2^{n-2} \end{aligned} $$
である。
**(4)**
$$ (k-1)^2=k(k-1)-k+1 $$
と分解する。すると
$$ \begin{aligned} 1+\sum_{k=2}^{n}(k-1)^2{}_{n}\mathrm{C}_{k} &=1+\sum_{k=2}^{n}\left(k(k-1)-k+1\right){}_{n}\mathrm{C}_{k}\\ &=1+\sum_{k=2}^{n}k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k} -\sum_{k=2}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k} +\sum_{k=2}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k} \end{aligned} $$
である。
ここで、
$$ \sum_{k=2}^{n}k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k}=n(n-1)2^{n-2} $$
また、
$$ \sum_{k=2}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k} =\sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k}-n =n2^{n-1}-n $$
さらに、
$$ \sum_{k=2}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k} =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}-{}_{n}\mathrm{C}_{0}-{}_{n}\mathrm{C}_{1} =2^n-1-n $$
である。よって、
$$ \begin{aligned} 1+\sum_{k=2}^{n}(k-1)^2{}_{n}\mathrm{C}_{k} &=1+n(n-1)2^{n-2}-(n2^{n-1}-n)+(2^n-1-n)\\ &=n(n-1)2^{n-2}-n2^{n-1}+2^n\\ &=2^{n-2}(n^2-3n+4) \end{aligned} $$
となる。
解説
$k{}_{n}\mathrm{C}_{k}$ や $k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k}$ をそのまま足すのではなく、二項係数の添字を下げる形に直すのが核心である。
特に （4） は、$(k-1)^2$ を $k(k-1)-k+1$ に分けることで、（2） と （3） の結果に帰着できる。
答え
**(1)**
$$ k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \qquad (k=1,2,\dots,n) $$
**(2)**
$$ \sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n2^{n-1} $$
**(3)**
$$ \sum_{k=2}^{n}k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k}=n(n-1)2^{n-2} $$
**(4)**
$$ 1+\sum_{k=2}^{n}(k-1)^2{}_{n}\mathrm{C}_{k}=2^{n-2}(n^2-3n+4) $$