解説

方針・初手

（1） は二項定理をそのまま用いる問題である。

（2） は $(x+2y+z)^7$ の各項の作り方を考え，多項定理で係数を求める。

（3） はそれぞれを展開したうえで，$x^4$ になる項だけを拾えばよい。全体を無差別に展開する必要はない。

解法1

（1） 二項定理より，

$$ (x+2y)^4=\sum_{k=0}^{4} {}_{4}\mathrm{C}_{k} x^{4-k}(2y)^k $$

である。したがって，

$$ \begin{aligned} (x+2y)^4 &=x^4+4x^3(2y)+6x^2(2y)^2+4x(2y)^3+(2y)^4 \\ &=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4 \end{aligned} $$

となる。

**(2)**

$(x+2y+z)^7$ の展開において $x^2y^2z^3$ をつくるには，7個の因子のうち

• $x$ を2回
• $2y$ を2回
• $z$ を3回

選べばよい。

よってその係数は，多項定理より

$$ \frac{7!}{2!2!3!}\cdot 2^2 $$

である。計算すると，

$$ \frac{7!}{2!2!3!}\cdot 2^2 =\frac{5040}{2\cdot 2\cdot 6}\cdot 4 =210\cdot 4 =840 $$

したがって，求める係数は $840$ である。

**(3)**

まず，

$$ (1+ax)^5=\sum_{j=0}^{5}{}_{5}\mathrm{C}_{j}a^j x^j $$

である。

また，

$$ \begin{aligned} \left(x-\frac{2}{x}\right)^4 &=x^4+4x^3\left(-\frac{2}{x}\right)+6x^2\left(-\frac{2}{x}\right)^2+4x\left(-\frac{2}{x}\right)^3+\left(-\frac{2}{x}\right)^4 \\ &=x^4-8x^2+24-\frac{32}{x^2}+\frac{16}{x^4} \end{aligned} $$

となる。

この2つの積で $x^4$ ができるのは，次の組合せだけである。

• $(1+ax)^5$ から定数項 $1$，$\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^4$ から $x^4$
• $(1+ax)^5$ から $x^2$ の項，$\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^4$ から $x^2$ の項
• $(1+ax)^5$ から $x^4$ の項，$\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^4$ から定数項

したがって，$x^4$ の係数は

$$ 1+{}_{5}\mathrm{C}_{2}a^2(-8)+{}_{5}\mathrm{C}_{4}a^4(24) $$

である。これが $41$ に等しいから，

$$ 1-8{}_{5}\mathrm{C}_{2}a^2+24{}_{5}\mathrm{C}_{4}a^4=41 $$

すなわち，

$$ 1-80a^2+120a^4=41 $$

である。整理すると，

$$ 120a^4-80a^2-40=0 $$

両辺を $40$ で割って，

$$ 3a^4-2a^2-1=0 $$

ここで $t=a^2$ とおくと，

$$ 3t^2-2t-1=0 $$

となる。因数分解して，

$$ (3t+1)(t-1)=0 $$

よって，

$$ t=1,\ -\frac13 $$

を得る。しかし $t=a^2\geqq 0$ なので，

$$ a^2=1 $$

したがって，

$$ a=\pm 1 $$

である。

解説

この問題の中心は，展開を力任せに行うのではなく，係数だけを効率よく拾うことである。

（1） は二項定理の基本であり，係数 ${}_{4}\mathrm{C}_{k}$ と $(2y)^k$ の $2^k$ を落とさないことが重要である。

（2） は多項定理の典型問題で，$x^2y^2z^3$ をつくる選び方と，$2y$ に含まれる係数 $2$ の累乗を分けて考えると整理しやすい。

（3） は「$x^4$ になる組だけを見る」という方針が本質である。不要な項まで全部展開すると計算が重くなるため，次数に注目して必要項のみを抽出するのが有効である。

答え

**(1)**

$$ (x+2y)^4=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4 $$

**(2)**

$x^2y^2z^3$ の係数は

$$ 840 $$

**(3)**

$$ a=\pm 1 $$