解説

方針・初手

$x^2$ や $(x-2)^2$ で割ったときの余りは、それぞれ次数が $2$ 未満の多項式である。

したがって、$x^2$ で割るときは $x^2$ 以上の項を捨てればよく、$(x-2)^2$ で割るときは $x-2$ を新しい文字とみて同様に処理すればよい。

解法1

**(1)**

$(x+2)^4$ を二項定理で展開すると

$$ (x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16 $$

である。

これを $x^2$ で割ったとき、$x^2$ 以上の項はすべて余りに影響しないので、余りは

$$ 32x+16 $$

である。

よって、①$=32$、②$=16$ である。

**(2)**

$(x-2)^2$ で割るので、$y=x-2$ とおくと $x=y+2$ である。

このとき

$$ x^4=(y+2)^4=y^4+8y^3+24y^2+32y+16 $$

となる。

これを $y^2$ で割ったときの余りは

$$ 32y+16 $$

であるから、$y=x-2$ を戻して

$$ 32(x-2)+16=32x-48 $$

を得る。

したがって、余りは $32x-48$ であり、③$=32$、④$=48$ である。

**(3)**

$(x+2)^n$ を二項定理で展開すると

$$ (x+2)^n=\sum_{k=0}^n {}_{n}\mathrm{C}_{k}\cdot x^k\cdot 2^{n-k} $$

である。

ここで $x^2$ で割ったときの余りを考えると、$x^2$ 以上の項は不要なので、$k=0,1$ の項だけを残せばよい。

したがって、

$$ (x+2)^n \equiv {}_{n}\mathrm{C}_{0}\cdot 2^n+{}_{n}\mathrm{C}_{1}\cdot 2^{n-1}x \pmod{x^2} $$

より、余りは

$$ n\cdot 2^{n-1}x+2^n $$

である。

よって、⑤$=n\cdot 2^{n-1}$、⑥$=2^n$ である。

解説

$x^2$ で割った余りを求める問題では、「定数項」と「$x$ の項」だけを見ればよい。

また、$(x-a)^2$ で割る問題は、$x-a$ を新しい文字に置き換えると、本質的には $x^2$ で割る問題と同じになる。ここでは $x-2$ を文字 $y$ とおくことで処理が簡潔になる。

（3） は二項定理の一般形をそのまま使い、$x^2$ 未満の項だけを抜き出すのが典型である。

答え

**(1)**

①$=32$、②$=16$

**(2)**

③$=32$、④$=48$

**(3)**

⑤$=n\cdot 2^{n-1}$、⑥$=2^n$