解説

方針・初手

下5桁を求めることは、$10^5=100000$ で割った余りを求めることと同じである。

また、（3）、（4） は「各位の数字の和」を $s$ とおくと、求める自然数そのものが $s^2$ や $s^4$ に等しいという形に直せる。まずこの形に直して、取りうる値を強く絞るのが基本方針である。

解法1

**(1)**

$(1001)^{15}$ の下5桁

下5桁は $(1001)^{15}$ を $100000$ で割った余りである。

$$ 1001^{15}=(1000+1)^{15} $$

と二項展開すると、

$$ (1000+1)^{15} =1+{}_{15}\mathrm{C}_{1}1000+{}_{15}\mathrm{C}_{2}1000^2+\cdots+{}_{15}\mathrm{C}_{15}1000^{15} $$

である。

ここで $1000^2=10^6$ は $10^5$ の倍数であるから、$1000^2$ 以上を含む項はすべて $100000$ で割ると余り $0$ になる。したがって、

$$ 1001^{15}\equiv 1+{}_{15}\mathrm{C}_{1}1000 =1+15\cdot 1000 =15001 \pmod{100000} $$

よって下5桁は $15001$ である。

**(2)**

$7^{80}$ の下5桁

下5桁は $7^{80}$ を $100000$ で割った余りである。

$$ 100000=32\cdot 3125 $$

であり、$32$ と $3125$ は互いに素なので、$32$ と $3125$ での余りをそれぞれ求めてから合わせる。

まず $32$ で考える。

$$ 7^2=49\equiv 17 \pmod{32} $$

なので、

$$ 7^4\equiv 17^2=289\equiv 1 \pmod{32} $$

したがって、

$$ 7^{80}=(7^4)^{20}\equiv 1^{20}=1 \pmod{32} $$

次に $3125$ で考える。

$$ 7^{10}=(7^5)^2 $$

であり、

$$ 7^5=16807\equiv 1182 \pmod{3125} $$

だから、

$$ 7^{10}\equiv 1182^2=1397124\equiv 249 \pmod{3125} $$

さらに、

$$ 7^{20}\equiv 249^2=62001\equiv 2626 \pmod{3125} $$

$$ 7^{40}\equiv 2626^2=6895876\equiv 2126 \pmod{3125} $$

$$ 7^{80}\equiv 2126^2=4519876\equiv 1126 \pmod{3125} $$

よって、求める数を $x$ とすると

$$ x\equiv 1 \pmod{32},\qquad x\equiv 1126 \pmod{3125} $$

を満たす。

$x=1126+3125k$ とおくと、

$$ 1126+3125k\equiv 1 \pmod{32} $$

である。ここで

$$ 1126\equiv 6,\qquad 3125\equiv 21 \pmod{32} $$

だから、

$$ 6+21k\equiv 1 \pmod{32} $$

すなわち

$$ 21k\equiv 27 \pmod{32} $$

となる。$21\cdot 29=609\equiv 1\pmod{32}$ より、$21$ の逆元は $29$ であるから、

$$ k\equiv 27\cdot 29=783\equiv 15 \pmod{32} $$

となる。最小の $k=15$ を用いると

$$ x=1126+3125\cdot 15=48001 $$

したがって、$7^{80}$ の下5桁は $48001$ である。

（3） 2桁の自然数のうち、1の位の数と10の位の数の和の2乗がその自然数自身に等しいもの

10の位を $x$、1の位を $y$ とすると、求める2桁の自然数は

$$ 10x+y $$

と表せる。ただし、

$$ 1\le x\le 9,\qquad 0\le y\le 9 $$

である。

条件より、

$$ (x+y)^2=10x+y $$

である。ここで

$$ s=x+y $$

とおくと、$y=s-x$ だから

$$ s^2=10x+y=10x+(s-x)=9x+s $$

よって

$$ 9x=s^2-s=s(s-1) $$

したがって、

$$ 9x=s(s-1) $$

であるから、$s(s-1)$ は $9$ の倍数である。$s$ と $s-1$ は連続する整数なので、どちらか一方が $9$ の倍数でなければならない。

一方、求める数は2桁であり、それが $s^2$ に等しいので

$$ 10\le s^2\le 99 $$

したがって

$$ 4\le s\le 9 $$

である。この範囲で $s$ または $s-1$ が $9$ の倍数になるのは $s=9$ のみである。

よって、

$$ 10x+y=s^2=81 $$

であり、実際に $8+1=9$、$9^2=81$ となる。

したがって、条件を満たす2桁の自然数は $81$ のみである。

（4） 4桁の自然数のうち、各位の数字の和の4乗がその自然数自身に等しいもの

4桁の自然数を $N$、その各位の数字の和を $s$ とする。条件より

$$ N=s^4 $$

である。

$N$ は4桁の自然数だから

$$ 1000\le s^4\le 9999 $$

である。これより

$$ 6^4=1296,\quad 7^4=2401,\quad 8^4=4096,\quad 9^4=6561,\quad 10^4=10000 $$

なので、

$$ s=6,7,8,9 $$

しかありえない。

そこでそれぞれについて $s^4$ の各位の和を調べる。

$$ 6^4=1296 \quad\Rightarrow\quad 1+2+9+6=18 $$

$$ 7^4=2401 \quad\Rightarrow\quad 2+4+0+1=7 $$

$$ 8^4=4096 \quad\Rightarrow\quad 4+0+9+6=19 $$

$$ 9^4=6561 \quad\Rightarrow\quad 6+5+6+1=18 $$

各位の和がもとの $s$ と一致するのは $s=7$ のときだけである。

したがって、条件を満たす4桁の自然数は

$$ 2401 $$

のみである。

解説

（1）、（2） は「下5桁」を $\pmod{100000}$ で処理する問題である。特に （1） では $(1000+1)^{15}$ と見ることで、高次の項がすべて消える。

（3）、（4） は、各位の数字の和を $s$ とおいて「求める数 $=$ $s^2$ または $s^4$」という形にするのが本質である。とくに （4） では、4桁という条件から $s$ の候補が $6,7,8,9$ にまで一気に絞れるので、総当たりでも十分に処理できる。

答え

**(1)**

$15001$

**(2)**

$48001$

**(3)**

$81$

**(4)**

$2401$