解説

方針・初手

$(x-1)^3$ で割った余りを求めるので、$x$ を $1+(x-1)$ とみて二項定理で展開し、$(x-1)^3$ 以上の項を捨てればよい。

解法1

$$ x^{100}={1+(x-1)}^{100} $$

であるから、二項定理より

$$ x^{100} =1+100(x-1)+{}_{100}\mathrm{C}_{2}(x-1)^2+{}_{100}\mathrm{C}_{3}(x-1)^3+\cdots $$

したがって、$(x-1)^3$ で割った余りは

$$ 1+100(x-1)+{}_{100}\mathrm{C}_{2}(x-1)^2 $$

である。

ここで

$$ {}_{100}\mathrm{C}_{2}=\frac{100\cdot 99}{2}=4950 $$

より、余りは

$$ 1+100(x-1)+4950(x-1)^2 $$

となる。

この多項式を $x$ の式として見たとき、最高次の項は $4950x^2$ であるから、その係数は

$$ 4950 $$

である。

解法2

余りを $r(x)$ とすると、$r(x)$ は $2$ 次以下の多項式であり、

$$ x^{100}-r(x) $$

は $(x-1)^3$ を因数にもつ。

したがって $x=1$ において

$$ r(1)=1^{100}=1 $$

また、両辺を微分して

$$ r'(1)=(x^{100})'\big|_{x=1}=100 $$

さらにもう一度微分して

$$ r''(1)=(x^{100})''\big|_{x=1}=100\cdot 99=9900 $$

を得る。

よって $r(x)$ は $x=1$ まわりで

$$ r(x)=r(1)+r'(1)(x-1)+\frac{r''(1)}{2}(x-1)^2 $$

と書けるから、

$$ r(x)=1+100(x-1)+\frac{9900}{2}(x-1)^2 =1+100(x-1)+4950(x-1)^2 $$

となる。

したがって、最高次の項の係数は

$$ 4950 $$

である。

解説

$(x-a)^n$ で割った余りを求める問題では、$x=a+(x-a)$ とおいて展開し、$(x-a)^n$ 以上の項を切り捨てる方針が基本である。

この問題では $a=1,\ n=3$ なので、$x^{100}$ を $1+(x-1)$ の形で展開して $(x-1)^2$ の項まで見れば十分である。微分を用いる方法も本質的には同じ内容であり、余りが $x=1$ における2次までのテイラー展開になっている。

答え

$$ ③=4950 $$