解説

方針・初手

$(x+1)^8(x-1)^4$ では、二項定理で展開したときに $x^{10}$ になる組合せだけを拾えばよい。

$(x^2+x+1)^6$ では、6個の因子から $x^2,\ x,\ 1$ をそれぞれ何回選ぶかを考えると整理しやすい。

解法1

（ウ） を求める。

まず、

$$ (x+1)^8=\sum_{k=0}^8 {}_{8}\mathrm{C}_{k}x^k,\qquad (x-1)^4=\sum_{j=0}^4 {}_{4}\mathrm{C}_{j}x^j(-1)^{4-j} $$

である。

したがって、$(x+1)^8(x-1)^4$ における $x^{10}$ の項は、$x^k$ と $x^j$ の積で

$$ k+j=10 $$

となるものを集めればよい。

ここで $0\le k\le 8,\ 0\le j\le 4$ であるから、可能なのは

$$ (k,j)=(8,2),(7,3),(6,4) $$

のみである。

よって、$x^{10}$ の項の係数は

$$ {}_{8}\mathrm{C}_{8}{}_{4}\mathrm{C}_{2}(-1)^2+{}_{8}\mathrm{C}_{7}{}_{4}\mathrm{C}_{3}(-1)^1+{}_{8}\mathrm{C}_{6}{}_{4}\mathrm{C}_{4}(-1)^0 $$

すなわち

$$ 1\cdot 6+8\cdot(-4)+28\cdot 1 =6-32+28 =2 $$

である。

したがって、

$$ \boxed{(\mathrm{ウ})=2} $$

である。

次に、（エ） を求める。

$(x^2+x+1)^6$ において、6個の因子から $x^2$ を $a$ 回、$x$ を $b$ 回、$1$ を $c$ 回選ぶとする。

このとき

$$ a+b+c=6 $$

であり、できる項の次数が $10$ になるには

$$ 2a+b=10 $$

でなければならない。

この2式から

$$ c=6-a-b=6-a-(10-2a)=a-4 $$

となるので、$b\ge 0,\ c\ge 0$ を満たす $a$ を調べればよい。

**(i)**

$a=4$ のとき

$$ b=2,\ c=0 $$

となる。このときの係数は

$$ \frac{6!}{4!2!0!}=15 $$

である。

**(ii)**

$a=5$ のとき

$$ b=0,\ c=1 $$

となる。このときの係数は

$$ \frac{6!}{5!0!1!}=6 $$

である。

$a=6$ では $2a+b=10$ を満たさず、$a\le 3$ では $c\ge 0$ を満たしても次数が足りない。

したがって、$x^{10}$ の項の係数は

$$ 15+6=21 $$

である。

よって、

$$ \boxed{(\mathrm{エ})=21} $$

である。

解説

1つ目は、展開全体を書く必要はなく、$x^{10}$ を作る次数の組合せだけを見るのが要点である。

2つ目は、各因子から何を選ぶかを「個数」で管理するのが典型である。多項定理の考え方そのものであり、次数条件と個数条件を連立して場合を数える。

答え

$$ (\mathrm{ウ})=2,\qquad (\mathrm{エ})=21 $$