解説

方針・初手

$100.1$ は $100\left(1+0.001\right)$ と書けるので、

$$ (100.1)^7=100^7(1+0.001)^7 $$

と変形して二項定理で展開するのが最も直接的である。 こうすると、各項が $10$ の何乗になるかがはっきりし、百の位や小数第4位を読み取りやすくなる。

解法1

まず

$$ 100.1=100\left(1+0.001\right) $$

より、

$$ (100.1)^7=100^7(1+0.001)^7=10^{14}(1+0.001)^7 $$

である。

ここで二項定理より、

$$ (1+0.001)^7 =1+7(0.001)+{}_{7}\mathrm{C}_{2}(0.001)^2+{}_{7}\mathrm{C}_{3}(0.001)^3+\cdots+(0.001)^7 $$

すなわち

$$ (1+0.001)^7 =1+7\times 10^{-3}+21\times 10^{-6}+35\times 10^{-9}+35\times 10^{-12}+21\times 10^{-15}+7\times 10^{-18}+10^{-21} $$

である。両辺に $10^{14}$ を掛けると、

$$ (100.1)^7 =10^{14}+7\times 10^{11}+21\times 10^{8}+35\times 10^{5}+35\times 10^{2}+21\times 10^{-1}+7\times 10^{-4}+10^{-7} $$

となる。これを実際に足し合わせると、

$$ (100.1)^7=100702103503502.1007001 $$

である。

したがって、整数部分 $100702103503502$ の百の位は $5$ であり、小数部分 $0.1007001$ の小数第4位は $7$ である。

解説

この問題では、直接 $100.1^7$ を計算しようとすると煩雑になる。 そこで $100.1=100(1+0.001)$ として、二項定理で各項の桁を管理するのが本質である。

特に、求めたいのは全体の値そのものではなく特定の桁の数字なので、各項がどの位に影響するかを意識して展開することが重要である。

答え

百の位の数字は $5$、小数第4位の数字は $7$ である。

したがって、

$$ \boxed{\text{ウ}=5,\ \text{エ}=7} $$