解説

方針・初手

条件式 $x+2y+3z=1$ と，求めたい式 $x^2+4y^2+9z^2$ を見比べると，$x,\ 2y,\ 3z$ をひとまとまりに見るのが自然である。

そこで

$$ a=x,\quad b=2y,\quad c=3z $$

とみなして，$a+b+c=1$ のもとで $a^2+b^2+c^2$ の最小値を考える。

解法1

コーシー・シュワルツの不等式より，

$$ (1^2+1^2+1^2)(x^2+4y^2+9z^2)\ge (x+2y+3z)^2 $$

が成り立つ。

条件 $x+2y+3z=1$ を用いると，

$$ 3(x^2+4y^2+9z^2)\ge 1 $$

したがって，

$$ x^2+4y^2+9z^2\ge \frac13 $$

である。

等号成立条件は

$$ x:2y:3z=1:1:1 $$

すなわち

$$ x=2y=3z $$

である。

ここで

$$ x=2y=3z=t $$

とおくと，条件式より

$$ t+t+t=1 $$

すなわち

$$ 3t=1 $$

となるから，

$$ t=\frac13 $$

よって

$$ x=\frac13,\quad y=\frac16,\quad z=\frac19 $$

であり，このとき

$$ x^2+4y^2+9z^2 =\left(\frac13\right)^2+4\left(\frac16\right)^2+9\left(\frac19\right)^2 =\frac19+\frac19+\frac19 =\frac13 $$

となる。

解法2

$u=x,\ v=2y,\ w=3z$ とおくと，条件は

$$ u+v+w=1 $$

となり，求める式は

$$ u^2+v^2+w^2 $$

となる。

ここで

$$ u^2+v^2+w^2-\frac13(u+v+w)^2 $$

を考えると，

$$ \begin{aligned} u^2+v^2+w^2-\frac13(u+v+w)^2 &=\frac13\{(u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2\} \\ &=\frac23\bigl(u^2+v^2+w^2-uv-vw-wu\bigr) \end{aligned} $$

であり，これは常に $0$ 以上である。

したがって

$$ u^2+v^2+w^2\ge \frac13(u+v+w)^2=\frac13 $$

となる。

等号成立は

$$ u=v=w $$

のときであるから，

$$ x=2y=3z=\frac13 $$

となり，

$$ x=\frac13,\quad y=\frac16,\quad z=\frac19 $$

である。

このとき最小値は

$$ \frac13 $$

である。

解説

この問題の要点は，$x^2+4y^2+9z^2$ をそのまま見るのではなく，

$$ x^2+(2y)^2+(3z)^2 $$

と捉えることである。

すると条件式も

$$ x+2y+3z=1 $$

となっており，3つの数の和が一定のときの平方和の最小という典型問題に帰着する。

最小になるのは，3つの数 $x,\ 2y,\ 3z$ が等しいときである。

答え

$$ \text{[ア]}=\frac13,\qquad \text{[イ]}=\frac16,\qquad \text{[ウ]}=\frac19,\qquad \text{[エ]}=\frac13 $$