解説

方針・初手

（1） の式は展開すると交差項が打ち消し合い，2つの平方和の積になる。

（2） は （1） の結果をそのまま用いれば，差が平方の和になるので直ちに示せる。等号条件は，その平方の和が $0$ になる条件を調べればよい。

（3） は （2） に $x=\sqrt a,\ y=\sqrt{5b},\ z=\sqrt{7c}$， $p=q=r=1$ を代入するのが自然である。

解法1

**(1)**

与式を

$$ S=(px+qy+rz)^2+(py-qx)^2+(qz-ry)^2+(rx-pz)^2 $$

とおく。

これを展開すると，

$$ \begin{aligned} S &=(p^2x^2+q^2y^2+r^2z^2+2pqxy+2qryz+2rpxz) \\ &\quad +(p^2y^2-2pqxy+q^2x^2) \\ &\quad +(q^2z^2-2qryz+r^2y^2) \\ &\quad +(r^2x^2-2rpxz+p^2z^2). \end{aligned} $$

ここで交差項 $2pqxy,\ 2qryz,\ 2rpxz$ は打ち消し合うから，

$$ \begin{aligned} S &=p^2(x^2+y^2+z^2)+q^2(x^2+y^2+z^2)+r^2(x^2+y^2+z^2) \\ &=(p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2). \end{aligned} $$

したがって，

$$ (px+qy+rz)^2+(py-qx)^2+(qz-ry)^2+(rx-pz)^2 =(p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2) $$

である。

---

**(2)**

（1） の結果を用いると，

$$ (p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2) =(px+qy+rz)^2+(py-qx)^2+(qz-ry)^2+(rx-pz)^2 $$

であるから，

$$ \begin{aligned} &(p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2)-(px+qy+rz)^2 \\ &=(py-qx)^2+(qz-ry)^2+(rx-pz)^2 \ge 0. \end{aligned} $$

よって，

$$ (p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (px+qy+rz)^2 $$

が成り立つ。

等号が成り立つのは右辺の平方和が $0$ になるとき，すなわち

$$ py-qx=0,\qquad qz-ry=0,\qquad rx-pz=0 $$

が同時に成り立つときである。

これは $(p,q,r)$ と $(x,y,z)$ が一次従属であること，すなわち少なくとも一方が零ベクトルであるか，ある実数 $t$ が存在して

$$ (x,y,z)=t(p,q,r) $$

と表せることに等しい。

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**(3)**

$$ x=\sqrt a,\qquad y=\sqrt{5b},\qquad z=\sqrt{7c} $$

とおくと，条件 $a+5b+7c=12$ より

$$ x^2+y^2+z^2=12 $$

である。

ここで （2） に $p=q=r=1$ を代入すると，

$$ (1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (x+y+z)^2 $$

すなわち

$$ 3(x^2+y^2+z^2)\ge (x+y+z)^2 $$

を得る。したがって，

$$ (x+y+z)^2 \le 3\cdot 12=36 $$

より，

$$ x+y+z\le 6. $$

ここで $x,y,z>0$ であるから，

$$ \sqrt a+\sqrt{5b}+\sqrt{7c}=x+y+z\le 6 $$

である。

等号成立は （2） の等号条件より

$$ x=y=z $$

のときである。さらに $x^2+y^2+z^2=12$ より

$$ 3x^2=12 \quad\Rightarrow\quad x=2 $$

だから，

$$ \sqrt a=\sqrt{5b}=\sqrt{7c}=2. $$

よって

$$ a=4,\qquad b=\frac45,\qquad c=\frac47 $$

のとき最大値 $6$ をとる。

解説

（1） は3変数版の恒等式であり，展開して交差項が消えることが本質である。

（2） は，左辺と右辺の差を「平方の和」として表すことで，不等式と等号条件が同時に得られる。これはコーシー・シュワルツの不等式の具体形である。

（3） は，条件 $a+5b+7c=12$ をそのまま平方和に見直すのが重要である。$\sqrt a,\sqrt{5b},\sqrt{7c}$ を新しい文字で置けば，（2） をそのまま適用できる。

答え

**(1)**

$$ (px+qy+rz)^2+(py-qx)^2+(qz-ry)^2+(rx-pz)^2 =(p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2) $$

**(2)**

$$ (p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (px+qy+rz)^2 $$

等号成立は

$$ py-qx=0,\qquad qz-ry=0,\qquad rx-pz=0 $$

すなわち $(p,q,r)$ と $(x,y,z)$ が一次従属であるときである。

**(3)**

$$ \sqrt a+\sqrt{5b}+\sqrt{7c} $$

の最大値は

$$ 6 $$

であり，そのとき

$$ a=4,\qquad b=\frac45,\qquad c=\frac47 $$

である。