解説

方針・初手

$a+b+c$ の最大値を、条件 $a^2+b^2+c^2=1$ のもとで求める問題である。

和の二乗

$$ (a+b+c)^2 $$

を評価すると、与えられた条件 $a^2+b^2+c^2=1$ をそのまま使える。したがって、コーシー・シュワルツの不等式を用いるのが最も自然である。

解法1

コーシー・シュワルツの不等式より、

$$ (a+b+c)^2 \leqq (1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2) $$

である。

ここで $a^2+b^2+c^2=1$ だから、

$$ (a+b+c)^2 \leqq 3 \cdot 1=3 $$

となる。よって、

$$ a+b+c \leqq \sqrt{3} $$

である。

この等号が成り立つのは、

$$ a:b:c=1:1:1 $$

すなわち

$$ a=b=c $$

のときである。実際、$a=b=c=t$ とおくと、

$$ 3t^2=1 $$

より

$$ t=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

とすれば条件を満たす。このとき

$$ a+b+c=3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} $$

となる。

したがって、最大値は $\sqrt{3}$ である。

解法2

$(a-b)^2\geqq 0,\ (b-c)^2\geqq 0,\ (c-a)^2\geqq 0$ より、

$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geqq 0 $$

である。展開すると、

$$ 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geqq 0 $$

したがって、

$$ ab+bc+ca \leqq a^2+b^2+c^2=1 $$

である。

ここで、

$$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) $$

より、

$$ (a+b+c)^2 \leqq 1+2\cdot 1=3 $$

となる。よって、

$$ a+b+c \leqq \sqrt{3} $$

である。

等号成立は $a=b=c$ のときであり、このとき $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ だから、最大値は $\sqrt{3}$ である。

解説

この問題は「和の最大値」を「二乗して評価する」典型問題である。

条件が $a^2+b^2+c^2=1$ の形なので、$(a+b+c)^2$ に直して評価すると処理しやすい。最短で済ませるならコーシー・シュワルツの不等式、基本式だけで進めるなら $ab+bc+ca$ の評価でも解ける。

また、最大値問題では等号成立条件まで確認して、実際にその値が実現することを確かめるのが重要である。

答え

最大値は

$$ \sqrt{3} $$

である。したがって、[⑥] は $\sqrt{3}$ である。