解説

方針・初手

（1） は項をまとめて共通因数をくくると因数分解できる。

（2） は左辺から右辺を引いた差を調べると、（1） の因数分解がそのまま使える。

（3） は （2） を $(a,b)$、$(b,c)$、$(c,a)$ の3組に適用して足し合わせるのが自然である。

解法1

**(1)**

与式を項ごとにまとめると

$$ a^3-a^2b-ab^2+b^3 =(a^3-a^2b)+(-ab^2+b^3) =a^2(a-b)-b^2(a-b) $$

となる。さらに $(a-b)$ をくくって

$$ a^2(a-b)-b^2(a-b) =(a-b)(a^2-b^2) $$

ここで $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ であるから

$$ a^3-a^2b-ab^2+b^3 =(a-b)^2(a+b) $$

よって因数分解の結果は

$$ a^3-a^2b-ab^2+b^3=(a-b)^2(a+b) $$

である。

**(2)**

示すべき不等式は

$$ 2(a^3+b^3)\ge (a+b)(a^2+b^2) $$

である。左辺から右辺を引くと

$$ \begin{aligned} 2(a^3+b^3)-(a+b)(a^2+b^2) &=2(a^3+b^3)-(a^3+a^2b+ab^2+b^3) \\ &=a^3-a^2b-ab^2+b^3 \end{aligned} $$

となる。

ここで （1） より

$$ a^3-a^2b-ab^2+b^3=(a-b)^2(a+b) $$

である。仮定より $a\ge0,\ b\ge0$ なので $a+b\ge0$、また $(a-b)^2\ge0$ であるから

$$ (a-b)^2(a+b)\ge0 $$

したがって

$$ 2(a^3+b^3)-(a+b)(a^2+b^2)\ge0 $$

すなわち

$$ 2(a^3+b^3)\ge (a+b)(a^2+b^2) $$

が成り立つ。

**(3)**

（2） を3組 $(a,b)$、$(b,c)$、$(c,a)$ に適用すると

$$ 2(a^3+b^3)\ge (a+b)(a^2+b^2) $$

$$ 2(b^3+c^3)\ge (b+c)(b^2+c^2) $$

$$ 2(c^3+a^3)\ge (c+a)(c^2+a^2) $$

を得る。これらを辺々加えると

$$ 4(a^3+b^3+c^3) \ge (a+b)(a^2+b^2)+(b+c)(b^2+c^2)+(c+a)(c^2+a^2) $$

右辺を展開すると

$$ \begin{aligned} &(a+b)(a^2+b^2)+(b+c)(b^2+c^2)+(c+a)(c^2+a^2) \\ &=(a^3+b^3+a^2b+ab^2)+(b^3+c^3+b^2c+bc^2)+(c^3+a^3+c^2a+ca^2) \\ &=2(a^3+b^3+c^3)+(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2) \end{aligned} $$

一方，

$$ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) =a^3+b^3+c^3+(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2) $$

であるから

$$ (a+b)(a^2+b^2)+(b+c)(b^2+c^2)+(c+a)(c^2+a^2) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(a^3+b^3+c^3) $$

となる。よって

$$ 4(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(a^3+b^3+c^3) $$

すなわち

$$ 3(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) $$

が成り立つ。

解説

（1） の因数分解がこの問題全体の核である。差を作ると $(a-b)^2(a+b)$ という「明らかに $0$ 以上の形」になるため、（2） は直ちに処理できる。

さらに （3） は新しく難しい計算をするのではなく、（2） を3回使って足し合わせるのが要点である。2変数の不等式を3変数へ拡張する典型的な流れになっている。

答え

**(1)**

$$ a^3-a^2b-ab^2+b^3=(a-b)^2(a+b) $$

**(2)**

$$ 2(a^3+b^3)\ge (a+b)(a^2+b^2) $$

**(3)**

$$ 3(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) $$

が成り立つ。