基礎問題集
数学2 式と証明「コーシー・シュワルツの不等式」の問題5 解説
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解説
方針・初手
条件 $ax+by+cz=k$ と、示すべき式 $x^2+y^2+z^2$、$a^2+b^2+c^2$ の形を見ると、内積に対する Cauchy-Schwarz の不等式を用いるのが自然である。
すなわち、$(a,b,c)$ と $(x,y,z)$ に対して
$$ (ax+by+cz)^2 \le (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) $$
を適用すればよい。
解法1
Cauchy-Schwarz の不等式より、
$$ (ax+by+cz)^2 \le (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) $$
が成り立つ。
ここで条件 $ax+by+cz=k$ を用いると、
$$ k^2 \le (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) $$
となるから、
$$ x^2+y^2+z^2 \ge \frac{k^2}{a^2+b^2+c^2} $$
を得る。よって （1） は示された。
次に、等号成立条件を調べる。
Cauchy-Schwarz の不等式で等号が成り立つのは、$(a,b,c)$ と $(x,y,z)$ が比例するとき、すなわちある定数 $t$ を用いて
$$ x=ta,\quad y=tb,\quad z=tc $$
と表せるときである。
これを条件 $ax+by+cz=k$ に代入すると、
$$ a(ta)+b(tb)+c(tc)=k $$
すなわち、
$$ t(a^2+b^2+c^2)=k $$
であるから、
$$ t=\frac{k}{a^2+b^2+c^2} $$
となる。
したがって、等号が成り立つとき
$$ x=\frac{ak}{a^2+b^2+c^2},\qquad y=\frac{bk}{a^2+b^2+c^2},\qquad z=\frac{ck}{a^2+b^2+c^2} $$
である。
解説
この問題は、条件が $ax+by+cz$、結論が $x^2+y^2+z^2$ という形になっているので、内積とその大きさの関係を見るのが本質である。
Cauchy-Schwarz の不等式
$$ (\text{内積})^2 \le (\text{長さの2乗})\times(\text{長さの2乗}) $$
をそのまま適用すれば一行で評価できる。
また、等号成立条件は「2つのベクトルが比例すること」である。したがって、単に不等式を示すだけでなく、等号成立時の $x,y,z$ もすぐに求められる。
答え
**(1)**
$$ x^2+y^2+z^2 \ge \frac{k^2}{a^2+b^2+c^2} $$
**(2)**
等号成立時は
$$ x=\frac{ak}{a^2+b^2+c^2},\qquad y=\frac{bk}{a^2+b^2+c^2},\qquad z=\frac{ck}{a^2+b^2+c^2} $$
である。