解説

方針・初手

左辺から右辺を引いて整理し、差が常に $0$ 以上であることを示す。 この種の不等式は、差を平方の和の形に変形するのが基本である。

解法1

示すべき不等式は

$$ 3(a^2+b^2+c^2)\geqq (a+b+c)^2 $$

である。

左辺から右辺を引くと

$$ \begin{aligned} &3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2 \\ &=3(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca) \\ &=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 =2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $$

であるから、

$$ 3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2 =(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 $$

を得る。

平方は常に $0$ 以上であるので、

$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqq 0 $$

である。したがって

$$ 3(a^2+b^2+c^2)\geqq (a+b+c)^2 $$

が成り立つ。

また、等号成立は

$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 $$

のときであり、平方の和が $0$ となるのは各項がすべて $0$ のときに限るから、

$$ a-b=0,\quad b-c=0,\quad c-a=0 $$

すなわち

$$ a=b=c $$

である。

解法2

コーシー・シュワルツの不等式

$$ (x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)\geqq (x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2 $$

において、

$$ (x_1,x_2,x_3)=(a,b,c),\quad (y_1,y_2,y_3)=(1,1,1) $$

とおくと、

$$ (a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)\geqq (a+b+c)^2 $$

すなわち

$$ 3(a^2+b^2+c^2)\geqq (a+b+c)^2 $$

を得る。

さらに、コーシー・シュワルツの等号成立条件より、等号は

$$ (a,b,c)=k(1,1,1) $$

となるとき、つまり

$$ a=b=c $$

のときに限り成り立つ。

解説

この問題の要点は、不等式そのものを直接扱うのではなく、左辺と右辺の差を見ることである。差を平方の和に直せれば、非負であることがすぐ分かる。

高校数学では、対称式の不等式ではまず 「差をとる」 「平方完成や平方の和にする」 という流れが非常に有効である。

また、この問題はコーシー・シュワルツの不等式の基本例でもある。標準的には解法1のほうが具体的で見通しがよい。

答え

**(1)**

$$ 3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqq 0 $$

より、

$$ 3(a^2+b^2+c^2)\geqq (a+b+c)^2 $$

である。

**(2)**

等号が成立するための必要十分条件は

$$ a=b=c $$

である。