解説

方針・初手

条件 $x+2y+3z=7$ は一次式が一定であるという形である。一方，求めたいのは二乗和 $x^2+y^2+z^2$ であるから，まずはコーシー・シュワルツの不等式を用いるのが自然である。

また，この種の問題は平方完成によって最小値を直接表すこともできる。

解法1

コーシー・シュワルツの不等式より，

$$ (x^2+y^2+z^2)(1^2+2^2+3^2)\geqq (x+2y+3z)^2 $$

が成り立つ。

ここで，

$$ 1^2+2^2+3^2=1+4+9=14, \qquad x+2y+3z=7 $$

であるから，

$$ 14(x^2+y^2+z^2)\geqq 49 $$

したがって，

$$ x^2+y^2+z^2\geqq \frac{49}{14}=\frac{7}{2} $$

となる。

よって最小値は $\dfrac{7}{2}$ である。

さらに，等号成立条件は

$$ x:y:z=1:2:3 $$

のときである。そこで

$$ x=t,\quad y=2t,\quad z=3t $$

とおくと，条件 $x+2y+3z=7$ より

$$ t+4t+9t=14t=7 $$

すなわち

$$ t=\frac12 $$

である。

したがって，最小値を与えるのは

$$ x=\frac12,\quad y=1,\quad z=\frac32 $$

のときである。

解法2

定数 $a$ を用いて

$$ (x-a)^2+(y-2a)^2+(z-3a)^2 $$

を展開すると，

$$ \begin{aligned} &(x-a)^2+(y-2a)^2+(z-3a)^2 \\ &=x^2+y^2+z^2-2a(x+2y+3z)+(1^2+2^2+3^2)a^2 \\ &=x^2+y^2+z^2-14a+14a^2 \end{aligned} $$

となる。ここで条件 $x+2y+3z=7$ を用いた。

よって，

$$ x^2+y^2+z^2=(x-a)^2+(y-2a)^2+(z-3a)^2+14a-14a^2 $$

である。

右辺の定数部分 $14a-14a^2$ を最大にすれば，$x^2+y^2+z^2$ の下限が得られる。これは

$$ 14a-14a^2=-14\left(a-\frac12\right)^2+\frac72 $$

より，$a=\dfrac12$ のとき最大値 $\dfrac72$ をとる。

したがって，

$$ x^2+y^2+z^2=\left(x-\frac12\right)^2+(y-1)^2+\left(z-\frac32\right)^2+\frac72\geqq \frac72 $$

となる。

よって最小値は

$$ \frac72 $$

であり，等号は

$$ x=\frac12,\quad y=1,\quad z=\frac32 $$

のときに成り立つ。

解説

一次条件のもとで二乗和の最小値を求める典型問題である。

解法1では，条件式の係数 $(1,2,3)$ と変数 $(x,y,z)$ を対応させてコーシー・シュワルツを使うのが最短である。等号成立条件まで確認すれば，最小値を与える値もすぐに求まる。

解法2は平方完成による処理であり，最小となる点が

$$ \left(\frac12,1,\frac32\right) $$

であることが式の形から直接見える。この見方も非常に重要である。

答え

最小値は

$$ \frac72 $$

である。

そのとき

$$ x=\frac12,\quad y=1,\quad z=\frac32 $$

である。