解説

方針・初手

求める式 $x+2y+3z$ と、条件 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}=\dfrac14$ は、互いに逆数の形を含んでいる。

したがって、相加相乗平均やコーシー・シュワルツ型の不等式

$$ (a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3)\ge (\sqrt{a_1b_1}+\sqrt{a_2b_2}+\sqrt{a_3b_3})^2 $$

を用いるのが自然である。

解法1

不等式

$$ (x+2y+3z)\left(\frac1x+\frac2y+\frac3z\right) \ge \left(\sqrt{x\cdot \frac1x}+\sqrt{2y\cdot \frac2y}+\sqrt{3z\cdot \frac3z}\right)^2 $$

を用いる。

右辺は

$$ \left(1+2+3\right)^2=6^2=36 $$

であるから、

$$ (x+2y+3z)\left(\frac1x+\frac2y+\frac3z\right)\ge 36 $$

を得る。

ここで条件

$$ \frac1x+\frac2y+\frac3z=\frac14 $$

を代入すると、

$$ (x+2y+3z)\cdot \frac14 \ge 36 $$

したがって、

$$ x+2y+3z\ge 144 $$

となる。

よって最小値は $144$ 以下にはならない。

次に等号成立条件を調べる。上の不等式で等号が成り立つのは

$$ \frac{x}{1/x}=\frac{2y}{2/y}=\frac{3z}{3/z} $$

すなわち

$$ x^2=y^2=z^2 $$

のときである。

$x,y,z>0$ より

$$ x=y=z $$

である。

これを条件式に代入すると、

$$ \frac1x+\frac2x+\frac3x=\frac14 $$

$$ \frac6x=\frac14 $$

$$ x=24 $$

となるので、

$$ x=y=z=24 $$

である。

このとき

$$ x+2y+3z=24+48+72=144 $$

となり、確かに下限を実現する。

解説

この問題の要点は、求める式と条件式が 「$x,2y,3z$」と「$\dfrac1x,\dfrac2y,\dfrac3z$」 という対応になっていることに気づくことである。

この対応が見えれば、

$$ (a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3)\ge (\sqrt{a_1b_1}+\sqrt{a_2b_2}+\sqrt{a_3b_3})^2 $$

をそのまま適用できる。

等号成立条件まで丁寧に確認しないと、最小値だけ出して終わってしまうので注意が必要である。

答え

最小値は

$$ 144 $$

であり、そのとき

$$ x=y=z=24 $$

である。