基礎問題集
数学2 式と証明「等式の証明」の問題1 解説
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解説
方針・初手
$x+y+z=0$ から $x=-(y+z)$ と表せるので、これを $2x^2+yz=0$ に代入して $y,z$ の式に直す。すると因数分解でき、そこから $x=y$ または $x=z$ が従う。
解法1
$x+y+z=0$ より、
$$ x=-(y+z) $$
である。これを $2x^2+yz=0$ に代入すると、
$$ 2(y+z)^2+yz=0 $$
すなわち
$$ 2y^2+5yz+2z^2=0 $$
となる。ここで左辺を因数分解すると、
$$ 2y^2+5yz+2z^2=(2y+z)(y+2z) $$
であるから、
$$ (2y+z)(y+2z)=0 $$
したがって、
**(i)**
$2y+z=0$ のとき
$$ z=-2y $$
であるから、
$$ x=-(y+z)=-(y-2y)=y $$
となり、$x=y$ である。
**(ii)**
$y+2z=0$ のとき
$$ y=-2z $$
であるから、
$$ x=-(y+z)=-(-2z+z)=z $$
となり、$x=z$ である。
以上より、$x$ は $y$ に等しいか、あるいは $z$ に等しい。
解法2
$x+y+z=0$ より、
$$ y+z=-x $$
また、$2x^2+yz=0$ より、
$$ yz=-2x^2 $$
である。
ここで $y,z$ を2解にもつ2次方程式を考えると、それは
$$ t^2-(y+z)t+yz=0 $$
であるから、
$$ t^2+xt-2x^2=0 $$
となる。これを因数分解すると、
$$ t^2+xt-2x^2=(t-x)(t+2x) $$
である。
よって $y,z$ は $x$ と $-2x$ のいずれかである。したがって、$y,z$ のうち少なくとも一方は $x$ に等しい。すなわち、
$$ x=y \quad \text{または} \quad x=z $$
である。
解説
この問題の要点は、$x+y+z=0$ と $2x^2+yz=0$ という2つの条件を別々に見るのではなく、1つをもう1つに代入して整理することである。
解法1は直接因数分解に持ち込む方法で、最も素直である。解法2は $y,z$ を2解にもつ2次方程式を考える方法で、対称式の処理として典型的である。
答え
$$ x=y \quad \text{または} \quad x=z $$
が成り立つ。