解説

方針・初手

$(\alpha,\beta,\gamma)$ を根にもつ3次方程式を考えると、条件 $\alpha+\beta+\gamma=3,\ p=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,\ q=\alpha\beta\gamma$ は係数と根の関係にそのまま対応する。

（1） では、その3次式に $x=1$ を代入して $1$ が根になることを示す。

（2） では、$p=3$ を

$$ (\alpha-1)^2+(\beta-1)^2+(\gamma-1)^2 $$

に結びつけると、各数が $1$ に等しいことが直ちに分かる。

解法1

$\alpha,\beta,\gamma$ を根にもつ3次式を

$$ f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) $$

とおく。

これを展開すると、$\alpha+\beta+\gamma=3$ より

$$ f(x)=x^3-3x^2+px-q $$

である。

（1） $p=q+2$ のとき

$x=1$ を代入すると

$$ f(1)=1-3+p-q=p-q-2 $$

である。

ここで仮定 $p=q+2$ を用いると

$$ f(1)=0 $$

となる。したがって $x=1$ は方程式 $f(x)=0$ の解である。

$f(x)=0$ の解は $\alpha,\beta,\gamma$ であるから、$\alpha,\beta,\gamma$ の少なくとも1つは $1$ である。

（2） $p=3$ のとき

まず

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 =(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) =3^2-2p $$

であるから、$p=3$ を代入すると

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=9-6=3 $$

を得る。

そこで

$$ (\alpha-1)^2+(\beta-1)^2+(\gamma-1)^2 $$

を計算すると、

$$ \begin{aligned} (\alpha-1)^2+(\beta-1)^2+(\gamma-1)^2 &=(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)-2(\alpha+\beta+\gamma)+3 \\ &=3-2\cdot 3+3 \\ &=0 \end{aligned} $$

となる。

実数の2乗はそれぞれ $0$ 以上であり、その和が $0$ であるから、各項はすべて $0$ である。よって

$$ \alpha-1=0,\quad \beta-1=0,\quad \gamma-1=0 $$

すなわち

$$ \alpha=\beta=\gamma=1 $$

である。

解説

この問題の要点は、$\alpha,\beta,\gamma$ を根にもつ3次式

$$ x^3-3x^2+px-q $$

を作ることである。

（1） の条件 $p=q+2$ は、その式に $x=1$ を代入した値が $0$ になることと同値である。したがって $1$ が根であり、$\alpha,\beta,\gamma$ のうち少なくとも1つが $1$ であることが分かる。

（2） は3次式を使わなくても、$p=3$ から

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=3 $$

が出て、さらに

$$ (\alpha-1)^2+(\beta-1)^2+(\gamma-1)^2=0 $$

とできるのが典型的である。平方の和が $0$ なら各平方が $0$ である、という基本事実を使う。

答え

**(1)**

$p=q+2$ のとき、$\alpha,\beta,\gamma$ を根にもつ3次式

$$ f(x)=x^3-3x^2+px-q $$

について

$$ f(1)=1-3+p-q=p-q-2=0 $$

となる。したがって $1$ は根であり、$\alpha,\beta,\gamma$ の少なくとも1つは $1$ である。

**(2)**

$p=3$ のとき

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2p=9-6=3 $$

より

$$ (\alpha-1)^2+(\beta-1)^2+(\gamma-1)^2=0 $$

となる。よって

$$ \alpha=\beta=\gamma=1 $$

である。