基礎問題集
数学2 式と証明「等式の証明」の問題3 解説
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解説
方針・初手
与えられた条件
$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} $$
をそのまま扱うより，両辺を通分して整理するのが自然である。
すると対称式が現れ，それが
$$ (a+b)(b+c)(c+a)=0 $$
と因数分解できる。したがって，$a+b,\ b+c,\ c+a$ のいずれかが $0$ であることが分かる。あとは奇数乗では符号が反転することを使えばよい。
解法1
条件 (A) より，
$$ \frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c} $$
である。ここで $abc\neq 0,\ a+b+c\neq 0$ であるから，両辺に $abc(a+b+c)$ を掛けて
$$ (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc $$
を得る。
左辺を展開すると
$$ a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=abc $$
であるから，
$$ a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=0 $$
となる。ここで左辺は
$$ (a+b)(b+c)(c+a) $$
に等しいので，
$$ (a+b)(b+c)(c+a)=0 $$
を得る。
したがって，次のいずれかが成り立つ。
**(i)**
$a+b=0$
**(ii)**
$b+c=0$
**(iii)**
$c+a=0$
以下，それぞれの場合を調べる。
**(i)**
$a+b=0$ のとき，$b=-a$ である。$n$ は奇数だから，
$$ \begin{aligned} \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n} &= \frac{1}{a^n}+\frac{1}{(-a)^n} \\ &=\frac{1}{a^n}-\frac{1}{a^n} \\ &=0 \end{aligned} $$
である。よって
$$ \begin{aligned} \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n} &= \frac{1}{c^n} \end{aligned} $$
となる。一方，$a+b=0$ より
$$ a+b+c=c $$
だから，
$$ \begin{aligned} \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n} &= \frac{1}{(a+b+c)^n} \end{aligned} $$
が成り立つ。
**(ii)**
$b+c=0$ のときも同様に，$c=-b$ であるから
$$ \frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=0 $$
となり，
$$ \begin{aligned} \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n} &= \frac{1}{a^n} \end{aligned} $$
である。また $b+c=0$ より $a+b+c=a$ なので，
$$ \begin{aligned} \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n} &= \frac{1}{(a+b+c)^n} \end{aligned} $$
を得る。
**(iii)**
$c+a=0$ のときも全く同様に，
$$ \begin{aligned} \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n} &= \frac{1}{b^n} \\ &=\frac{1}{(a+b+c)^n} \end{aligned} $$
となる。
以上より，いずれの場合にも
$$ \begin{aligned} \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n} &= \frac{1}{(a+b+c)^n} \end{aligned} $$
が成り立つ。
解説
この問題の要点は，条件 (A) を無理に高次の式へ持ち込まず，まず因数分解しやすい形に直すことである。
実際，
$$ (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc $$
を展開すると
$$ (a+b)(b+c)(c+a) $$
になるため，3つの数のうち2つが互いに反対数であることが分かる。すると奇数乗では
$$ x^n+(-x)^n=0 $$
が使えるので，(B) は直ちに従う。
偶数乗ではこの打ち消しが起こらないため，奇数という条件が本質である。
答え
**(A)**
より
$$ (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc $$
であり，これは
$$ (a+b)(b+c)(c+a)=0 $$
と同値である。したがって $a+b=0,\ b+c=0,\ c+a=0$ のいずれかが成り立つ。
$n$ は奇数であるから，たとえば $a+b=0$ なら
$$ \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}=0 $$
となり，
$$ \begin{aligned} \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n} &= \frac{1}{c^n} \\ &=\frac{1}{(a+b+c)^n} \end{aligned} $$
を得る。他の場合も同様である。
よって任意の奇数 $n$ に対して
$$ \begin{aligned} \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n} &= \frac{1}{(a+b+c)^n} \end{aligned} $$
が成り立つ。