解説

方針・初手

与えられた式は $x,y$ の対称式であるから、

$$ s=x+y,\quad p=xy $$

とおくと整理しやすい。すると $xy+x+y=20$ は $p+s=20$， $x^2y+xy^2=91$ は $ps=91$ となる。 まず $s,p$ を求め，その後に $x^2+y^2,\ x^3+y^3$ を対称式で表せばよい。

解法1

$$ s=x+y,\quad p=xy $$

とおく。

すると条件より

$$ p+s=20 $$

また，

$$ x^2y+xy^2=xy(x+y)=ps=91 $$

であるから，

$$ ps=91 $$

を得る。

したがって $s,p$ は

$$ t^2-20t+91=0 $$

の2つの解である。これを因数分解すると

$$ t^2-20t+91=(t-7)(t-13) $$

より，

$$ {s,p}={7,13} $$

である。

ここで $x,y$ は実数なので，2次方程式

$$ t^2-st+p=0 $$

が実数解をもたねばならない。よって判別式

$$ s^2-4p\geqq 0 $$

が必要である。

**(i)**

$s=7,\ p=13$ のとき

$$ s^2-4p=49-52=-3<0 $$

となり不適。

**(ii)**

$s=13,\ p=7$ のとき

$$ s^2-4p=169-28=141>0 $$

となり適する。

したがって

$$ x+y=13,\quad xy=7 $$

である。

よって

$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=13^2-2\cdot 7=169-14=155 $$

また，

$$ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) $$

より

$$ x^3+y^3=13^3-3\cdot 7\cdot 13=2197-273=1924 $$

となる。

解説

この問題の要点は，$x,y$ を直接求めにいかず，$x+y,\ xy$ に置き換えることである。 条件

$$ xy+x+y=20,\qquad x^2y+xy^2=91 $$

はそれぞれ

$$ p+s=20,\qquad ps=91 $$

となるので，$s,p$ はすぐに決まる。ただし ${7,13}$ のどちらが $x+y$ でどちらが $xy$ かは，$x,y$ が実数であることから判別式で判定する必要がある。この確認を省かないことが重要である。

答え

$$ x^2+y^2=155,\qquad x^3+y^3=1924 $$

と入る。