解説

方針・初手

まず与式から $x$ 自体を求める。さらに、$\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2$ や $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2$ を用いれば、前の二つはすぐに求まる。最後の式は、求めた $x$ を用いて直接計算するのが確実である。

解法1

与式

$$ x-\frac{1}{x}=2\sqrt{2} $$

より、両辺に $x$ を掛けると

$$ x^2-2\sqrt{2}x-1=0 $$

となる。したがって

$$ x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{8+4}}{2} =\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2} =\sqrt{2}\pm\sqrt{3} $$

である。条件 $x<0$ より

$$ x=\sqrt{2}-\sqrt{3} $$

である。

まず、$x^2+\dfrac{1}{x^2}$ を求める。

$$ \left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2+\frac{1}{x^2} $$

であるから、

$$ x^2+\frac{1}{x^2} =\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2 =(2\sqrt{2})^2+2 =8+2 =10 $$

となる。

次に、$x+\dfrac{1}{x}$ を求める。

$$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 =\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4 =8+4 =12 $$

より、

$$ x+\frac{1}{x}=\pm2\sqrt{3} $$

である。ここで $x<0$ なら $\dfrac{1}{x}<0$ でもあるから、

$$ x+\frac{1}{x}<0 $$

となり、

$$ x+\frac{1}{x}=-2\sqrt{3} $$

である。

最後に、

$$ \left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(x^2+\frac{1}{x}\right) $$

を求める。

$x=\sqrt{2}-\sqrt{3}$ より、有理化すると

$$ \frac{1}{x} =\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} =-(\sqrt{2}+\sqrt{3}) $$

である。したがって

$$ x^2=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2=5-2\sqrt{6}, \qquad \frac{1}{x^2}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6} $$

となるので、

$$ 1-\frac{1}{x^2}=1-(5+2\sqrt{6})=-4-2\sqrt{6} $$

また、

$$ x^2+\frac{1}{x} =(5-2\sqrt{6})-(\sqrt{2}+\sqrt{3}) =5-2\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(x^2+\frac{1}{x}\right) &=(-4-2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}) \\ &=4+10\sqrt{2}+8\sqrt{3}-2\sqrt{6} \end{aligned} $$

となる。

解説

$x-\dfrac{1}{x}$ が与えられたときは、二乗して

$$ x^2+\frac{1}{x^2} $$

を求めるのが基本である。また、

$$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4 $$

も典型的な関係式である。

ただし、最後の式は対称な形ではないため、$x$ を具体的に求めて代入した方が処理しやすい。条件 $x<0$ は、$x+\dfrac{1}{x}$ の符号決定にも必要である。

答え

$$ x^2+\frac{1}{x^2}=10 $$

$$ x+\frac{1}{x}=-2\sqrt{3} $$

$$ \left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(x^2+\frac{1}{x}\right) =4+10\sqrt{2}+8\sqrt{3}-2\sqrt{6} $$