解説

方針・初手

$x+y$ と $x^3+y^3$ が与えられているので、まず

$$ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) $$

を用いて $xy$ を求めるのが自然である。

その後は

$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy $$

を使えば $x^2+y^2$ が求まる。さらに $x^5+y^5$ は、$x+y,\ xy$ を用いた漸化式

$$ x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2}) $$

で処理できる。

解法1

まず、

$$ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) $$

より、

$$ 50=5^3-3xy\cdot 5 $$

すなわち

$$ 50=125-15xy $$

であるから、

$$ 15xy=75 $$

となり、

$$ xy=5 $$

を得る。

次に、

$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy $$

より、

$$ x^2+y^2=5^2-2\cdot 5=25-10=15 $$

である。

最後に $x^5+y^5$ を求める。

まず

$$ x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2 $$

であり、$xy=5$ より $x^2y^2=25$ だから、

$$ x^4+y^4=15^2-2\cdot 25=225-50=175 $$

となる。

ここで

$$ x^5+y^5=(x+y)(x^4+y^4)-xy(x^3+y^3) $$

を用いると、

$$ x^5+y^5=5\cdot 175-5\cdot 50=875-250=625 $$

となる。

したがって求める値は

$$ xy=5,\qquad x^2+y^2=15,\qquad x^5+y^5=625 $$

である。

解説

この問題の核心は、対称式を $x+y,\ xy$ で表すことである。

特に

$$ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) $$

は頻出公式であり、これによってまず $xy$ が確定する。すると $x^2+y^2$ は直ちに求まり、高次の $x^5+y^5$ も $(x+y,\ xy)$ を使って順に処理できる。

個々の $x,\ y$ を実際に求めなくても、対称式だけで完結するのがこの種の問題の基本である。

答え

**(1)**

$xy=5$

**(2)**

$x^2+y^2=15$

**(3)**

$x^5+y^5=625$