解説

方針・初手

与式は

$$ \frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b} $$

と書き直せる。これは対称式であるから、分子をまとめて対称式の恒等式

$$ a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b=(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc $$

を用いるのが自然である。

解法1

求める値を $S$ とおくと、

$$ S=a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) $$

であるから、

$$ S=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b} $$

となる。これを通分すると、

$$ S=\frac{a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b}{abc} $$

である。

ここで、

$$ a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b=(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc $$

が成り立つので、条件 $a+b+c=0$ より

$$ a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b=-3abc $$

となる。したがって、

$$ S=\frac{-3abc}{abc}=-3 $$

を得る。

解法2

条件 $a+b+c=0$ より

$$ a+b=-c,\quad b+c=-a,\quad c+a=-b $$

である。

したがって与式は

$$ a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) =a\cdot \frac{b+c}{bc} =a\cdot \frac{-a}{bc} =-\frac{a^2}{bc} $$

同様に

$$ b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=-\frac{b^2}{ca},\qquad c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{c^2}{ab} $$

であるから、求める値 $S$ は

$$ S=-\left(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\right) =-\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} $$

となる。

ここで $a+b+c=0$ であるから、恒等式

$$ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $$

より

$$ a^3+b^3+c^3=3abc $$

である。よって

$$ S=-\frac{3abc}{abc}=-3 $$

となる。

解説

この問題の要点は、与式をそのまま計算しようとせず、対称式として整理することである。

解法1は分子を一つにまとめて基本恒等式を使う方法であり、最も標準的である。解法2は $a+b+c=0$ から $b+c=-a$ などを直接使って各項を変形する方法で、三次式の恒等式につなげる見通しが立てやすい。

いずれの方法でも、条件 $abc\ne 0$ は分母が $0$ にならないことを保証するために必要である。

答え

求める値は

$$ -3 $$

である。