解説

方針・初手

共通の値を $k$ とおく。

すると

$$ \frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k $$

より

$$ y+z=kx,\quad z+x=ky,\quad x+y=kz $$

が成り立つ。ここで $x+y+z$ を $S$ とおくと，各式は $S=(k+1)x,\ (k+1)y,\ (k+1)z$ の形に直せるので，$S\neq 0$ の場合と $S=0$ の場合で場合分けすればよい。

解法1

共通の値を $k$ とおくと，

$$ y+z=kx,\quad z+x=ky,\quad x+y=kz $$

である。

ここで $S=x+y+z$ とおくと，

$$ y+z=S-x $$

であるから，$y+z=kx$ より

$$ S-x=kx $$

すなわち

$$ S=(k+1)x $$

を得る。同様にして

$$ S=(k+1)y,\quad S=(k+1)z $$

も成り立つ。

**(i)**

$x+y+z\neq 0$ のとき

このとき $S\neq 0$ である。

もし $k+1=0$ なら $S=(k+1)x=0$ となってしまい矛盾する。したがって $k+1\neq 0$ であるから，

$$ x=y=z=\frac{S}{k+1} $$

となる。

これを $S=x+y+z$ に代入すると，

$$ S=3\frac{S}{k+1} $$

であり，$S\neq 0$ だから両辺を $S$ で割って

$$ 1=\frac{3}{k+1} $$

よって

$$ k+1=3,\quad k=2 $$

となる。

したがって，この式の値は $2$ である。

**(ii)**

$x+y+z=0$ のとき

このとき $S=0$ であるから，

$$ S=(k+1)x $$

より

$$ (k+1)x=0 $$

を得る。もとの式が定義されているので $x\neq 0$ であるから，

$$ k+1=0 $$

すなわち

$$ k=-1 $$

である。

したがって，この式の値は $-1$ である。

解説

この問題の要点は，共通の値を文字でおいて式を対称的に処理することである。

各分子は「全体の和 $x+y+z$ から対応する文字を引いたもの」になっているので，$S=x+y+z$ とおくと一気に整理できる。すると $S=(k+1)x,\ (k+1)y,\ (k+1)z$ が得られ，$S\neq 0$ なら $x=y=z$，$S=0$ なら $k=-1$ とすぐに決まる。

答え

$$ \boxed{\text{イ}=2,\quad \text{ウ}=-1} $$