解説

方針・初手

まず

$$ \frac{19}{8-\sqrt{7}} $$

を有理化して扱いやすい形に直す。すると整数部分 $a$ と小数部分 $b$ がすぐに求まり、さらに $(2)$ は $ab$ を先に求めると計算が大きく簡単になる。

解法1

与えられた数を

$$ x=\frac{19}{8-\sqrt{7}} $$

とおく。

これを有理化すると

$$ x=\frac{19}{8-\sqrt{7}}\cdot\frac{8+\sqrt{7}}{8+\sqrt{7}} =\frac{19(8+\sqrt{7})}{64-7} =\frac{19(8+\sqrt{7})}{57} =\frac{8+\sqrt{7}}{3} $$

である。

ここで $2<\sqrt{7}<3$ であるから

$$ \frac{8+2}{3}<x<\frac{8+3}{3} $$

すなわち

$$ \frac{10}{3}<x<\frac{11}{3} $$

となる。したがって $3<x<4$ であるから、整数部分は

$$ a=3 $$

である。

よって小数部分 $b$ は

$$ b=x-a=\frac{8+\sqrt{7}}{3}-3 =\frac{8+\sqrt{7}-9}{3} =\frac{\sqrt{7}-1}{3} $$

である。

したがって、

$$ b=\frac{-1+\sqrt{7}}{3} $$

である。

次に $(2)$ を求める。

まず

$$ ab=3\cdot \frac{\sqrt{7}-1}{3}=\sqrt{7}-1 $$

であるから、

$$ \frac{a^5b^5}{4}=\frac{(ab)^5}{4} =\frac{(\sqrt{7}-1)^5}{4} $$

となる。

そこで $(\sqrt{7}-1)^5$ を計算する。

まず

$$ (\sqrt{7}-1)^2=7-2\sqrt{7}+1=8-2\sqrt{7} $$

よって

$$ (\sqrt{7}-1)^4=(8-2\sqrt{7})^2 =64-32\sqrt{7}+28 =92-32\sqrt{7} $$

したがって

$$ \begin{aligned} (\sqrt{7}-1)^5 &=(92-32\sqrt{7})(\sqrt{7}-1) \\ &=92\sqrt{7}-92-224+32\sqrt{7} \\ &=124\sqrt{7}-316 \end{aligned} $$

である。

ゆえに

$$ \frac{a^5b^5}{4} =\frac{124\sqrt{7}-316}{4} =31\sqrt{7}-79 $$

となる。

解説

この問題の要点は、最初に有理化して

$$ \frac{19}{8-\sqrt{7}}=\frac{8+\sqrt{7}}{3} $$

まで直すことである。ここまでできれば、整数部分と小数部分の分離は機械的に進む。

また $(2)$ では $a^5b^5=(ab)^5$ とまとめるのが重要である。$a$ と $b$ を別々に5乗すると計算が重くなるが、$ab=\sqrt{7}-1$ を先に作れば一気に簡単になる。

答え

**(1)**

$$ b=\frac{-1+\sqrt{7}}{3} $$

したがって

$$ \boxed{\text{ア}=1,\ \text{イ}=7,\ \text{ウ}=3} $$

**(2)**

$$ \frac{a^5b^5}{4}=-79+31\sqrt{7} $$

したがって

$$ \boxed{\text{エオ}=79,\ \text{カキ}=31,\ \text{ク}=7} $$