解説

方針・初手

$ \sqrt[3]{3} $ を $t$ とおくと、$\sqrt[3]{9}=t^2$ であり、分母は $2t^2+t+5$ となる。

したがって、分母を有理数にするには

$$ 2t^2+t+5 $$

に適当な

$$ A+Bt+Ct^2 $$

を掛けて、$t,\ t^2$ の項が消えるようにすればよい。

解法1

$t=\sqrt[3]{3}$ とおくと $t^3=3,\ \sqrt[3]{9}=t^2$ であるから、与式は

$$ \frac{55}{2t^2+t+5} $$

となる。

ここで

$$ (2t^2+t+5)(A+Bt+Ct^2) $$

を展開する。

$$ \begin{aligned} (2t^2+t+5)(A+Bt+Ct^2) &=2At^2+At+5A+Bt^2+Bt^2\cdot t+5Bt \\ &\quad +Ct^2\cdot t+Ct^3+5Ct^2 \end{aligned} $$

ただし $t^3=3,\ t^4=3t$ を用いると、

$$ \begin{aligned} (2t^2+t+5)(A+Bt+Ct^2) &=(2A+B+5C)t^2+(A+5B+6C)t \\ &\quad +(5A+6B+3C) \end{aligned} $$

となる。

これが有理数になるためには、$t^2,\ t$ の係数が $0$ になればよいから、

$$ \begin{cases} 2A+B+5C=0 \\ A+5B+6C=0 \end{cases} $$

を満たす $A,B,C$ をとればよい。

これを解くと、

$$ A=-\frac{19}{9}C,\qquad B=-\frac{7}{9}C $$

となる。ここで $C=-9$ とすると

$$ A=19,\qquad B=7,\qquad C=-9 $$

である。

したがって

$$ (2t^2+t+5)(19+7t-9t^2) $$

を計算すると、

$$ \begin{aligned} &(2A+B+5C)t^2+(A+5B+6C)t+(5A+6B+3C) \\ &=(38+7-45)t^2+(19+35-54)t+(95+42-27) \\ &=110 \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} \frac{55}{2t^2+t+5} &= \frac{55(19+7t-9t^2)}{110} \\ \frac{19+7t-9t^2}{2} \end{aligned} $$

である。

最後に $t=\sqrt[3]{3},\ t^2=\sqrt[3]{9}$ を戻して、

$$ \begin{aligned} \frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5} &= \frac{19+7\sqrt[3]{3}-9\sqrt[3]{9}}{2} \end{aligned} $$

となる。

解説

3乗根を含む分母の有理化では、平方根のときの「共役」をそのまま使うことはできないことが多い。

この問題では、$\sqrt[3]{3}$ を $t$ とおいて、$1,t,t^2$ の一次結合として逆数を作る方針が有効である。$t^3=3$ を使えば、高次の項をすべて $1,t,t^2$ に戻せるため、係数比較で処理できる。

答え

$$ \begin{aligned} \frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5} &= \frac{19+7\sqrt[3]{3}-9\sqrt[3]{9}}{2} \end{aligned} $$