解説

方針・初手

後ろのかっこは割り算になっているので、まず逆数をかける形に直す。 また、$x^2-3x+2$ は因数分解できるので、そこで約分が起こる。 ただし、分母に $x-1,\ x-2$ が現れるので、$x\neq 1,\ 2$ である。

解法1

与式を

$$ \left(x+1-\frac{1}{x-2}\right)\left(\frac{2}{x-1}\div\frac{4}{x^2-3x+2}\right) $$

とする。

まず、後ろのかっこを計算する。割り算を逆数をかける形に直すと、

$$ \frac{2}{x-1}\div\frac{4}{x^2-3x+2} = \frac{2}{x-1}\cdot\frac{x^2-3x+2}{4} $$

である。ここで

$$ x^2-3x+2=(x-1)(x-2) $$

より、

$$ \frac{2}{x-1}\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{4} = \frac{x-2}{2} $$

となる。

したがって、与式は

$$ \left(x+1-\frac{1}{x-2}\right)\cdot\frac{x-2}{2} $$

となる。

これを分配すると、

$$ \frac{x-2}{2}(x+1)-\frac{x-2}{2}\cdot\frac{1}{x-2} $$

であり、

$$ =\frac{(x+1)(x-2)}{2}-\frac{1}{2} $$

となる。さらに

$$ (x+1)(x-2)=x^2-x-2 $$

だから、

$$ \frac{x^2-x-2}{2}-\frac{1}{2} = \frac{x^2-x-3}{2} $$

よって、求める値は

$$ \frac{x^2-x-3}{2} $$

である。

解説

この問題のポイントは、後半の「分数の割り算」を確実に逆数の掛け算に直すことである。 さらに、$x^2-3x+2$ を $(x-1)(x-2)$ と因数分解すると、$\frac{2}{x-1}$ と約分でき、式が一気に簡単になる。

また、途中で約分しているので、$x=1,\ 2$ は最初から定義されない値であることも押さえておく必要がある。

答え

$$ \frac{x^2-x-3}{2}\quad (x\neq 1,\ 2) $$