基礎問題集
数学2 式と証明「分数式」の問題2 解説
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解説
方針・初手
内側の分母
$$ x+\frac{4}{x+5} $$
をまず通分して簡単にする。すると分母に $(x+1)(x+4)$ が現れ、外側の分数も連続して整理できる。
解法1
与式を
$$ \frac{x+4}{-1+\frac{x+1}{x+\frac{4}{x+5}}} $$
とする。
まず、内側の分母を計算すると
$$ x+\frac{4}{x+5} =\frac{x(x+5)+4}{x+5} =\frac{x^2+5x+4}{x+5} =\frac{(x+1)(x+4)}{x+5} $$
である。
したがって
$$ \begin{aligned} \frac{x+1}{x+\frac{4}{x+5}} &= \frac{x+1}{\frac{(x+1)(x+4)}{x+5}}\\ &= \frac{(x+1)(x+5)}{(x+1)(x+4)}\\ &= \frac{x+5}{x+4} \end{aligned} $$
となる。
これを用いると、全体の分母は
$$ \begin{aligned} -1+\frac{x+5}{x+4} &= \frac{-(x+4)+(x+5)}{x+4}\\ &= \frac{1}{x+4} \end{aligned} $$
となる。
よって与式は
$$ \frac{x+4}{\frac{1}{x+4}} =(x+4)^2 $$
となる。
解説
この問題は、入れ子になった分数を外側から見て処理すると煩雑になる。最も内側の
$$ x+\frac{4}{x+5} $$
を通分して因数分解するのが基本方針である。
実際、
$$ x^2+5x+4=(x+1)(x+4) $$
と因数分解できるため、その後の約分が一気に進む。連分数型の式では、内側から順に整理するのが定石である。
答え
$$ (x+4)^2 $$
ただし、元の式が定義されるのは $x\neq -5,-4,-1$ のときである。