解説

方針・初手

分母に $(a-b),(a-c),(b-c)$ が並んでいるので、まず共通分母をそろえるのが自然である。

ただし、分母が $0$ になってはならないから、$a,b,c$ は互いに異なるものとする。

解法1

**(1)**

$$ S_1=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)} $$

共通分母を

$$ (a-b)(a-c)(b-c) $$

とすると、

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)}=\frac{b-c}{(a-b)(a-c)(b-c)} $$

$$ \frac{1}{(b-a)(b-c)}=-\frac{a-c}{(a-b)(a-c)(b-c)} $$

$$ \frac{1}{(c-a)(c-b)}=\frac{a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)} $$

である。したがって、

$$ S_1 =\frac{(b-c)-(a-c)+(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} =\frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)} =0 $$

となる。

**(2)**

$$ S_2=\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} $$

同様に共通分母をそろえると、

$$ S_2= \frac{a^3(b-c)-b^3(a-c)+c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} $$

ここで分子を

$$ N=a^3(b-c)-b^3(a-c)+c^3(a-b) $$

とおく。

この $N$ は、$a=b$ のとき

$$ N=a^3(b-c)-b^3(a-c)+c^3(a-b)=0 $$

となるので $(a-b)$ を因数にもつ。同様に、$a=c$ のときも $0$、$b=c$ のときも $0$ となるから、$N$ は

$$ (a-b)(a-c)(b-c) $$

を因数にもつ。

しかも $N$ は次数 $4$ の斉次式であり、$(a-b)(a-c)(b-c)$ は次数 $3$ であるから、商は次数 $1$ の斉次式、すなわち定数 $k$ を用いて

$$ N=k(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c) $$

と書ける。

この $k$ を求めるために $c=0$ とすると、

$$ N=a^3b-ab^3=ab(a-b)(a+b) $$

一方、

$$ (a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c) $$

に $c=0$ を代入すると、

$$ (a-b)\cdot a \cdot b \cdot (a+b)=ab(a-b)(a+b) $$

となる。したがって $k=1$ である。

よって、

$$ N=(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c) $$

であり、

$$ S_2=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=a+b+c $$

となる。

解説

（1） は単なる通分で処理できる基本問題である。符号の扱い、特に

$$ b-a=-(a-b),\quad c-a=-(a-c),\quad c-b=-(b-c) $$

を丁寧に追うことが重要である。

（2） は通分後の分子をどう処理するかがポイントである。直接展開してもよいが、$a=b,\ a=c,\ b=c$ のとき分子が $0$ になることから、$(a-b)(a-c)(b-c)$ を因数にもつと見るのが整理された考え方である。

答え

**(1)**

$$ 0 $$

**(2)**

$$ a+b+c $$