基礎問題集
数学2 式と証明「分数式」の問題4 解説
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解説
方針・初手
まず、それぞれの2次式を因数分解する。すると積の部分が大きく約分でき、最後は分数の引き算に直せる。
解法1
与式を
$$ \frac{x-1}{x+1}-\frac{x^2-5x+6}{2x^2-3x-2}\times\frac{2x^2+3x+1}{x^2-4x+3} $$
とする。
各式を因数分解すると、
$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $$
$$ 2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2) $$
$$ 2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1) $$
$$ x^2-4x+3=(x-1)(x-3) $$
である。したがって、積の部分は
$$ \frac{(x-2)(x-3)}{(2x+1)(x-2)}\times\frac{(2x+1)(x+1)}{(x-1)(x-3)} $$
となり、約分して
$$ \frac{x+1}{x-1} $$
である。
よって、与式は
$$ \frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1} $$
となる。通分すると、
$$ \frac{(x-1)^2-(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} $$
である。
分子を計算すると、
$$ (x-1)^2-(x+1)^2 = (x^2-2x+1)-(x^2+2x+1) = -4x $$
だから、
$$ \frac{(x-1)^2-(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{-4x}{x^2-1} $$
となる。
したがって、求める値は
$$ -\frac{4x}{x^2-1} $$
である。
なお、もとの式が定義されるためには
$$ x\neq -1,\ -\frac12,\ 1,\ 2,\ 3 $$
である必要がある。
解説
この問題の要点は、先に展開するのではなく因数分解を見ることである。
特に積の部分は、分子と分母に共通因子が連続して現れる形になっているので、因数分解さえできれば大部分が約分される。その後は単なる分数の引き算になる。
答え
$$ -\frac{4x}{x^2-1} $$
ただし、
$$ x\neq -1,\ -\frac12,\ 1,\ 2,\ 3 $$
である。