解説

方針・初手

分母の中にさらに分数があるので、まず

$$ x+\frac{4}{x+4} $$

を整理する。すると、分母全体が因数分解でき、分子と打ち消し合う形になる。

解法1

与式を

$$ \frac{\dfrac{4}{x+2}+1}{x^2-10-\dfrac{x^3+8}{x+\dfrac{4}{x+4}}} $$

とする。

まず分子は

$$ \frac{4}{x+2}+1 =\frac{4+x+2}{x+2} =\frac{x+6}{x+2} $$

である。

次に、分母の中の

$$ x+\frac{4}{x+4} $$

を通分すると、

$$ x+\frac{4}{x+4} =\frac{x(x+4)+4}{x+4} =\frac{x^2+4x+4}{x+4} =\frac{(x+2)^2}{x+4} $$

となる。

したがって、

$$ \frac{x^3+8}{x+\dfrac{4}{x+4}} = \frac{x^3+8}{\dfrac{(x+2)^2}{x+4}} $$

であり、$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$ を用いると

$$ \begin{aligned} \frac{x^3+8}{x+\dfrac{4}{x+4}} &= \frac{(x+2)(x^2-2x+4)(x+4)}{(x+2)^2}\\ &= \frac{(x^2-2x+4)(x+4)}{x+2} \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ (x^2-2x+4)(x+4)=x^3+2x^2-4x+16 $$

だから、分母全体は

$$ x^2-10-\frac{x^3+2x^2-4x+16}{x+2} $$

である。これを通分すると

$$ \frac{(x^2-10)(x+2)-(x^3+2x^2-4x+16)}{x+2} $$

となる。

分子を計算すると

$$ \begin{aligned} (x^2-10)(x+2)-(x^3+2x^2-4x+16) &=x^3+2x^2-10x-20-x^3-2x^2+4x-16 \\ &=-6x-36 \\ &=-6(x+6) \end{aligned} $$

よって分母全体は

$$ -\frac{6(x+6)}{x+2} $$

である。

以上より、与式は

$$ \frac{\dfrac{x+6}{x+2}}{-\dfrac{6(x+6)}{x+2}} =-\frac{1}{6} $$

となる。

解説

この問題の要点は、複雑に見える分母の中の分数を先に整理することである。

特に

$$ x+\frac{4}{x+4} =\frac{(x+2)^2}{x+4} $$

となるのが重要で、ここから $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$ と結びつけると、全体が大きく簡単になる。見た目に惑わされず、内側から順に整理するのが基本方針である。

答え

$$ -\frac{1}{6} $$

ただし、もとの式が定義されるためには

$$ x\neq -4,\ -2,\ -6 $$

である。