解説

方針・初手

与えられた式は $x$ について恒等的に成り立つ多項式恒等式である。したがって、まず $x$ に具体的な値を代入して $f(0),f(1),f(2)$ を求める。

その後、$f(0)=f(1)=f(2)=0$ から $f(x)$ が $x,\ x-1,\ x-2$ を因数にもつことを用い、さらに次数比較によって $f(x)$ の形を決定する。

解法1

与えられている関係式は

$$ f(x^2)=x^3f(x+1)-2x^4+2x^2 $$

である。

まず $x=0$ を代入すると、

$$ f(0)=0^3f(1)-2\cdot 0^4+2\cdot 0^2=0 $$

より

$$ f(0)=0 $$

である。

次に $x=-1$ を代入すると、

$$ f(1)=(-1)^3f(0)-2(-1)^4+2(-1)^2 $$

すなわち

$$ f(1)=-f(0)-2+2=-f(0)=0 $$

より

$$ f(1)=0 $$

である。

さらに $x=1$ を代入すると、

$$ f(1)=1^3f(2)-2\cdot 1^4+2\cdot 1^2=f(2) $$

となるから、$f(1)=0$ より

$$ f(2)=0 $$

である。

以上より

$$ f(0)=f(1)=f(2)=0 $$

が示された。

次に $f(x)$ を求める。

$f(x)$ は零多項式ではない。実際、もし $f(x)\equiv 0$ なら、与式は

$$ 0=-2x^4+2x^2 $$

となり矛盾する。

そこで $\deg f=n$ とおく。すると左辺 $f(x^2)$ の次数は $2n$、右辺 $x^3f(x+1)-2x^4+2x^2$ の次数は $n+3$ である。よって恒等式であることから

$$ 2n=n+3 $$

したがって

$$ n=3 $$

である。

一方、$f(0)=f(1)=f(2)=0$ であり、$f(x)$ は3次式だから、

$$ f(x)=a\,x(x-1)(x-2) $$

と書ける。ただし $a$ は定数である。

これを与式に代入する。

まず左辺は

$$ f(x^2)=a\,x^2(x^2-1)(x^2-2)=a(x^6-3x^4+2x^2) $$

である。

右辺は

$$ x^3f(x+1)-2x^4+2x^2 =x^3{a(x+1)x(x-1)}-2x^4+2x^2 $$

より

$$ x^3f(x+1)-2x^4+2x^2 =a(x^6-x^4)-2x^4+2x^2 $$

となる。

したがって

$$ a(x^6-3x^4+2x^2)=a(x^6-x^4)-2x^4+2x^2 $$

である。$x^4$ の係数を比較すると

$$ -3a=-a-2 $$

となるので、

$$ a=1 $$

を得る。

よって

$$ f(x)=x(x-1)(x-2) $$

である。

解説

この問題の要点は、恒等式に具体的な値を代入して根を見つけることと、次数比較を行うことである。

$f(0),f(1),f(2)$ を順に求める流れは素直であり、その後は「3つの異なる根をもつ3次式」という形に持ち込めばよい。多項式恒等式では、特定の値の代入と次数比較が非常に有効である。

答え

$$ f(0)=f(1)=f(2)=0 $$

また、

$$ f(x)=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x $$

である。