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数学2 式と証明「恒等式」の問題2 解説

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数学2式と証明恒等式問題2

解説

右辺は $(x-3)$ の整式として表されているので、左辺

$$ x^3-x^2-16x+37 $$

を $(x-3)$ を用いて書き直せばよい。

そのために $x=(x-3)+3$ とおいて展開する。

$y=x-3$ とおくと、$x=y+3$ である。

このとき左辺は

$$ x^3-x^2-16x+37=(y+3)^3-(y+3)^2-16(y+3)+37 $$

となる。これを展開すると、

$$ (y+3)^3=y^3+9y^2+27y+27 $$

$$ (y+3)^2=y^2+6y+9 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} x^3-x^2-16x+37 &=(y^3+9y^2+27y+27)-(y^2+6y+9)-16y-48+37 \\ &=y^3+8y^2+5y+7 \end{aligned} $$

となる。

ここで $y=x-3$ であったから、

$$ x^3-x^2-16x+37=(x-3)^3+8(x-3)^2+5(x-3)+7 $$

したがって、

$$ \boxed{\text{ア}=8,\ \text{イ}=5,\ \text{ウ}=7} $$

この問題は、$x$ の多項式を $(x-3)$ の多項式に書き換える問題である。

$x=(x-3)+3$ とおいて直接展開するのが最も基本的で確実である。無理に係数比較を最初から行うより、置き換えて整理したほうが計算の流れが見えやすい。

$$ \boxed{\text{ア}=8,\ \text{イ}=5,\ \text{ウ}=7} $$