基礎問題集
数学2 式と証明「恒等式」の問題3 解説
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解説
方針・初手
右辺を通分して分子を比較する。分母は
$$ x^3+x^2=x^2(x+1) $$
であるから、恒等式にするには両辺の分子が一致すればよい。
解法1
与えられた恒等式
$$ \frac{x^2+2x-1}{x^3+x^2}=\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x+1} $$
において、右辺を分母 $x^2(x+1)$ で通分すると
$$ \frac{a(x+1)+bx(x+1)+cx^2}{x^2(x+1)} $$
となる。
したがって、分子どうしを比較して
$$ x^2+2x-1=a(x+1)+bx(x+1)+cx^2 $$
である。
右辺を展開すると
$$ a(x+1)+bx(x+1)+cx^2 = ax+a+bx^2+bx+cx^2 = (b+c)x^2+(a+b)x+a $$
となるので、
$$ x^2+2x-1=(b+c)x^2+(a+b)x+a $$
である。恒等式より、各次数の係数を比較して
$$ \begin{cases} b+c=1 \\ a+b=2 \\ a=-1 \end{cases} $$
を得る。
$a=-1$ を $a+b=2$ に代入すると
$$ -1+b=2 $$
より
$$ b=3 $$
さらに $b+c=1$ に代入して
$$ 3+c=1 $$
より
$$ c=-2 $$
となる。
解説
部分分数分解の基本問題である。分母が $x^2(x+1)$ と因数分解できるので、右辺を通分して分子を比較するのが最も素直である。
この種の問題では、通分後に分子を展開し、$x^2,x,1$ の係数を丁寧に比較することが重要である。
答え
$$ a=-1,\quad b=3,\quad c=-2 $$
したがって、
**[ア]** $=-1$、**[イ]** $=3$、**[ウ]** $=-2$ である。