解説

方針・初手

条件

$$ a-2b+2c+1=0,\qquad 3a+2b-6c+1=0 $$

を満たす実数 $a,b,c$ は、2本の一次方程式で表される直線上を動く。

したがって、$a,b,c$ を1文字で表して

$$ a^2x+b^2y+c^2z=1 $$

がその文字について恒等的に成り立つようにすればよい。まずは連立方程式から $a,b$ を $c$ で表す。

解法1

与えられた条件

$$ a-2b+2c+1=0 $$

より

$$ a=2b-2c-1 $$

である。

これを

$$ 3a+2b-6c+1=0 $$

に代入すると

$$ 3(2b-2c-1)+2b-6c+1=0 $$

すなわち

$$ 8b-12c-2=0 $$

となるから

$$ 4b-6c=1, \qquad b=\frac{3}{2}c+\frac14 $$

である。

これを $a=2b-2c-1$ に代入すると

$$ a=2\left(\frac32 c+\frac14\right)-2c-1 =c-\frac12 $$

となる。

ここで $c=t$ とおくと

$$ a=t-\frac12,\qquad b=\frac32 t+\frac14,\qquad c=t $$

である。したがって

$$ a^2x+b^2y+c^2z=1 $$

は

$$ \left(t-\frac12\right)^2x+\left(\frac32 t+\frac14\right)^2y+t^2z=1 $$

すなわち

$$ \left(t^2-t+\frac14\right)x +\left(\frac94 t^2+\frac34 t+\frac1{16}\right)y +t^2z =1 $$

となる。これが任意の実数 $t$ に対して成り立つので、$t$ の係数を比較して

$$ \begin{cases} x+\dfrac94 y+z=0\\[4pt] -x+\dfrac34 y=0\\[4pt] \dfrac14 x+\dfrac1{16}y=1 \end{cases} $$

を得る。

第2式より

$$ x=\frac34 y $$

である。これを第3式に代入すると

$$ \frac14\cdot \frac34 y+\frac1{16}y=1 $$

より

$$ \frac3{16}y+\frac1{16}y=1 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac14 y=1 $$

したがって

$$ y=4 $$

であり、

$$ x=\frac34\cdot 4=3 $$

となる。さらに第1式から

$$ 3+\frac94\cdot 4+z=0 $$

より

$$ 3+9+z=0 \qquad\Longrightarrow\qquad z=-12 $$

である。

解説

「条件を満たすすべての $a,b,c$ に対して成り立つ」という文言は、条件で定まる直線上の任意の点で成り立つことを意味する。したがって、まず $a,b,c$ を1つの媒介変数で表し、その後で恒等式として係数比較を行うのが最も素直で確実な方針である。

途中で1点だけを代入しても情報は足りず、任意の $t$ に対する恒等式に直してはじめて $x,y,z$ が一意に決まる。

答え

$$ x=3,\qquad y=4,\qquad z=-12 $$