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数学2 式と証明「恒等式」の問題5 解説

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数学2式と証明恒等式問題5

解説

右辺は $(x-2)$ のべきで整理された形になっているので、$x-2$ を新しい文字で置くのが最も自然である。

そこで

$$ t=x-2 $$

とおくと、$x=t+2$ であるから、左辺を $t$ の式に直して係数を比較すればよい。

$t=x-2$ とおくと $x=t+2$ である。

左辺

$$ x^3+x^2-8x+5 $$

に $x=t+2$ を代入すると、

$$ (t+2)^3+(t+2)^2-8(t+2)+5 $$

となる。これを展開すると、

$$ \begin{aligned} (t+2)^3+(t+2)^2-8(t+2)+5 &=(t^3+6t^2+12t+8)+(t^2+4t+4)-8t-16+5 \\ &=t^3+7t^2+8t+1 \end{aligned} $$

したがって

$$ x^3+x^2-8x+5=(x-2)^3+7(x-2)^2+8(x-2)+1 $$

である。

これを

$$ x^3+x^2-8x+5=(x-2)^3+a(x-2)^2+b(x-2)+c $$

と見比べれば、

$$ a=7,\quad b=8,\quad c=1 $$

である。

この問題は、右辺が $(x-2)$ を基準にした形になっていることが着眼点である。したがって $t=x-2$ と置いて、左辺を $t$ の多項式として表せば、そのまま係数が読める。

無理に右辺を展開して係数比較しても解けるが、置き換えを使うほうが計算の見通しがよい。

$$ a=7,\quad b=8,\quad c=1 $$